XVIII. — Des points singuliers des surfaces
On appelle points singuliers d'une surface les points pour lesquels le z ne peut &tre suppose d6veloppabIe par la formule de Taylor, quelque petits que soient les accroissements de x,y, et cela m&me apr&s une transformation de coordonn£es; c'est-a-dire qu'en un point singulier les d6riv£es du z sont ind£termin£es, infinies ou discontinues.
Nous ne nous occuperons ici que des surfaces dont liquation e»t de la forme
/(*»rt *) = o>
/designant une fonction toujours d£veloppable par la formule de Taylor pour des valeurs sufflsamment petites des accroissements de x, y, z. Les surfaces alg£briques sont dans ce cas.
Nous avons vu que, si \ j- > ~ > j- n'^taient pas tous trois nuls,
le lieu des langentes en ce point a la surface £tait un plan, et nous avons d£clar£ singulier tout point ou Ton avait a la fois
df df df
dx ~~ ' dy ~~ ' dz ~~
Theoreme I. — En un point singulier, le lieu des tangentes a la surface est un cdne du second degri, si toutes les dirwees du second ordre de f ne sont pas nulles. Sinon le lieu sera un cdne du troisieme degri, a moins que toutes les dirwies du troisieme ordre ne soient nulles, etc.
46a CHAPITRE VI.
En effet, l'equation d'une tangente est
^ ' dx ~ dy dz
dx, dy, dz d£signant trois quantit£s infinit£simales li6es entre elles par la relation
f(x -+- dx, y -r dy, z-\- dz) = o,
oh f(x,y, z) = o # . Si done 4~^ ^ 4z sont nuls, on a » P ar 1* formule de Taylor,
- dydz-h. . .
dx 1 -+- a \ dydz -+- . . . -+- to = o,
to designant des termes du troisieme ordre, que Ton peut n^gliger. L'elimination de dx, dy, dz entre cette formule et (i) donne le lieu des tangentes
ce lieu est un c6ne du second degr6, et Ton voit sans peine qu'il serait du troisi&mc si toutes les d6riv6es secondes de/ etaient nulles.
On appelle points doubles tous ceux pour lesquels le lieu des tangentes est un c6ne du second degr£; points triples ceux pour lesquels le lieu des tangentes est un c6ne du troisi&me degr£, etc.
Nous voyons que, pour qu'un point soit un point simple d'une surface, il faut une condition
pour qu'un point soil double, il faut 4 = H- 3 conditions
dx ty dz '
INFINIMENT PBTITS DANS LBS SURFACES. 463
pour qu'un point soit triple, il en faut i -+- 3 -f- 6 =. i o :
df df df
dx 1 dydz
En g&n&ral, pour qu'un point soit d'ordre p, ilfaut
conditions.
Ainsi assujettir une surface du second degri a avoir un point double en un point determine de Uespace, cest V assujettir & quatre conditions ; done les c6nes ay ant leur somraet donn6 ne peuvent plus &lre assujettis qu'a cinq conditions, ce que l'on savait.
Supposons que l'on prenne pour origine des coordonn^es un point d'ordre de multiplicity p\ liquation de la surface prendra la forme
f p d6signant un polyndme du degr£ p en x, y, z',f P +i un polyn6me du degr6 p -f- 1 , . . . . Le c6ne des tangentes a Torigine aura pour Equation
Coupons la surface par la droite
* = «p, y = Pp, z = YPi nous aurons
o=P"//>(«> P»Y)-+-P /,+1 //»4-i(«, ?,?) + ••■• Cette Equation a/? racines nulles; done :
Theoreme II. — Toute droite passant par un point d'ordre p doit itre censie rencontrer la surface en p points coincidents.
464 CHAPITRK VI.
Cependant, si Ton a /^(a, [3, y) = o, c'cst-a-dire si la droite est une generatrice du cdne tangent, elle rencontrera la surface en p -\-\ points coincidents, car liquation en p aura/? 4- 1 racines nulles.
Enfin, si Ton a a la fois
Liquation en p aura p-h 2 racines nulles; done il existe sur le cdne tangent p(j> -f- 1) generatrices rencontrant la surface en p -4- 2 points confondus en un seuL
En particulier, les tangentes en un point simple rencontrant la surface en deux points confondus, deux d'entre elles rencontrent la surface en trois points confondus. Ce sont les asymptotes de l'indicatrice.
Ainsi les asymptotes de V indicatrice sont des droites 05culatrices, ayant avec la surface un contact du deuxieme ordre.
II pourra enfin arriver que l'equation f p+2 = o admette des solutions de/ / , = o, fp+\ =0, et, dans ce cas (exceptionnel, il nefaut pas Toublier), certaines tangentes pourront rencontrer la surface en plus de p -4- 2 points.
II va sans dire que les plans passant par un point multiple d'ordre p couperont en general la surface suivant des courbes pr^sentant des points multiples d'ordre p.
Supposons qu'il s'agisse d'un point double, le c6ne des tangentes sera du second degre" :
i° Le cdne des tangentes est un cdne riel ou imaginaire proprement dit.
Le point multiple est alors un point conique, si le cdne est r£el, ou un point isol£, si le cone est imaginaire.
2 Le cdne des tangentes se riduit a deux plans distincts.
Le point multiple est dit point double biplanaire.
3° Le cdne des tangentes est un plan double] alors le point est dit uniplanaire.
Lorsque le cdne des tangentes en un point est d'un degre
INFINIMKNT PBTITS DANS LBS SURFACES. 4&>
suplrieur, on d^finit ordinairement la nature du point multiple en indi quant la nature du c6ne en question.
II existe sur quelques surfaces des lignes singulis res, le long desquelles tous les points de la surface sont singuliers. Pour qu'il existe sur une surface une p are i lie ligne, il faut que les £quations/=o de la surface et ses deriv^es/*! = o, f 2 = o, / s = o aient une solution continue.
Une ligne singuliere est une ligne double, triple, . . • , quand elle est l'intersection de deux, trois nappes de la surface.
