XIX. — Points singuliers des courbes gauches
Consid^rons une courbe gauche definie par deux Equations alg£briques
Transportons Torigine au point (#, y, z) de cette courbe, et posons
les Equations (i) et (2) deviendront, en leur appliquant la formule de Taylor et en observant que <p(#,,X, z)etty (#, y y z) sont nuls,
do do „ do
(1 bis) {
„ db dty v db
co et nj designant des termes du second ordre en £, 7j, £. Si Ton fait £ = pa, y\ = p[3, £ = py, a, (3, y designant les projections de la longueur un, portee dans la direction $, t;, £ sur les axes de coordonn^es, on a
(ibis) 1 7
466 GHAPITRB YI.
ci>i et t?i d£signant des quantit£s finies pour p = o. Ces deux Equations font connailre les coefficients directeurs de la secante issue du point (x,y, z) et termin£e a un point quelconque x + !;, y -h 7), z -+- £ de la courbe, et, quand on fait converger p vers z6ro, les Equations
dy dtp do
dx r dy ' oz
font connailre les coefficients directeurs de la tan gen te a la courbe, a savoir
En g£n£ral, ces rapports ont des valeurs bien d6 terrain ees, et la tangente rencontre la courbe en deux points confondus; il n'y a d'ailleurs qu'une seule droite rencontrant la courbe en deux points confondus en x, y, z. Toutefois, la tangente pourra avoir avec la courbe un nombre de points communs en x, y, z sup£rieur a deux : c'est ce qui arriVerait si les valeurs de a, (3, y tiroes de (3) ou (3 bis) annulaient a^ et roj. Avant d'examiner le cas ou les trois determinants qui figurentdans (3 bis) seraient mils, nous en supposerons deux
mils, pour faire observer que le rapport -j- est ind£termin£ ;
si Ton suppose, par exemple, a = [$ = o, la tangente a la courbe gauche est bien determine ; mais, comme cette tangente est paraltele aux z, sa projection se r£duit a un point sur le plan des xy. On sail, en effet, que, dans ce cas, la projection pr^sente un rebroussement.
Supposons maintenant que Ton ait a la fois
m <*(?>*) n *(?>40 n <Ky, 40 n .
{4) <*Cr,*) ' <*{*,*)-' d(*,y)~ '
a, [3, y sont indctermines et a-^ -f- [3 -r? -f- y2 est egal, a un
INFINIMKNT PETITS DANS LBS SURFACES. (fi*J
facteur pr&s, ^ a ?" + ?r+T?-' ou > s * l' on veut, on a .
do dty __ do b dty do # ety __ > m
dx ' dx dy'dy~~dz*dz '
les surfaces (1) sont tangentes, et Ton peut reraplacer le systeme (2) par le suivant, obtenu en combinant les Equations de ce syst&me par voie d'addition
do a do do
= p((Oi — Xroj),
ou, en divisant la seconde par p et en remplacant to { et m t par leurs valeurs
tb 2 d£signant une quantity finie pour p = o. Si alors on fait tendre p vers z£ro, on obtient en g6n£ral deux. Equations limites qui feront connaitrerfew.r valeurs des rapports a : [3 : y; nous sommes en presence d'un point double.
Nous nous arr£terons ici ; on voit sans peine comment on devrait continuer la discussion, qui pr£sentera de grandes difficult^ dans la pratique, a cause des Equations a plusieurs inconnues que Ton peut &tre oblig6 de consid^rer. Nous fixerons seulement Tattention du lecteur sur deux points :
Ne doivent 6tre considir^s comme points singuliers dans les courbes gauches que ceux ou les coefficients directeurs de la corde infiniment petite sont discontinus ou inditermines.
Ainsi, la presence d'un point singulier dans la projection d'unc courbe gauche ne d6c&le en aucune fa^on la presence d'un point singulier dans la courbe elle-m^me. Si, par exemple, une projetante parallfele a l'axe des z rencontre la
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courbe gauche en deux points, son pied sur e plan des xy sera un point double.
Lorsgue deux surfaces se touchent, leur intersection presente ordinairement un nceud au point de contact.
EXERCICES ET NOTES
1. Liquation aux rayons de courbure principalis, en coordonndes semi-polaires est
~ (a' a' — &'«) — 5 (ac' -+- ca' — bb') -+■ ac - 6* = o,
formule ou Ton a pose
d*z dz , . /dz\*
. d*z dz ,, dz dz
d*z . /dz\*
2. Le lieu des centres de courbure principaux d'une surface developpable est la surface rectifiante(p. 388) de son arete de rebroussement.
