XX. — Transformation par rayons vecteurs reciproqnes

Quand deux courbes en coordonn£es polaires, pour une mime valeur de Tangle polaire, sont telles que le produit de leurs rayons vecteurs reste constant, on dit qu'elles sont transformtes Vune de V autre par rayons vecteurs rSciproques.

sont les Equations polaires de deux courbes transformers Tune deTautre par rayons vecteurs r^ciproques, et Ton &rr / = k 2 ; k 2 est le module de la transformation, il peut e*tre n^gatif. On reconnait aisement que la transformed d'une droite est un cercle, et que la transformed d'un cercle est un cercle qui se r£duit a une droite, si le p6le est sur le cercle. En effet, liquation du cercle est

r*-f- r{a cosO -+- 6sin6) -r- c = o,

et, en changeant ren-> cette Equation conserve sa forme ; cependant, si c = o, elle prend la forme

a cos 6 -+- b sin 8'

equation d'une droite.

Les tangentes aux points correspondants de deux courbes transformees Tune de l'autre par rayons vecteurs r^ciproques font des angles £gaux avec le rayon vecteur commun; en effet, pour Tune des courbes, on a

tangV = r^,

V d£signant Tangle que le rayon vecteur r fait avec la tangente et 8 l'angle polaire. Pour l'autre, en appelant V Tangle que fait le rayon vecteur r' avec la tangente, on a

tangV^r^,;

or

On en conclut

r = — ? a r = r dr.

ungV=-r^;

done V et V sont suppl&nentaires : en d'autres termes, les tangentes aux deux courbes font des angles £gaux avec le rayon vecteur, mais elles ne sont pas parall⩽ elles sont an tipar alleles.

II rdsulte de la que deux courbes et leurs transformies par rayons vecteurs reciproques se coupent sous le mSme angle, et cet angle est la difference des angles que les courbes ou leurs transformees font avec le rayon vecteur du point ou elles se croisent.

Par suite, si Von sait construire la tangente a une courbe, on saura aussi construire la tangente a sa transformie.

GE0METR1B PLANE. 43

Nous remarquerons, en terminant, que la transformee par rayons vecteurs rcteiproques d'une concho'ide de cercle est une conique ayant pour foyer le pdle ; en effet, la concho'ide du cercle a pour Equations, quand on prendle p6le sur le cercle,

r = a-+- aRcosO,

R design ant le rayon du cercle et a une constante; la transformle par rayons vecteurs r^ciproques a pour Equation

a -r-aRcosO'

c'est bien l'equation generate des coniques rapportees a leur axe et a leur foyer.

XXI. — Description de l'appareil Peaucellier et de ses derives.

C'estici l'occasion de parler d'une s£rie d'appareils a tiges, qui permettent de tracer les courbes d'un mouvement continu. Le plus ancien de ces appareils, et le plus connu, est le panto graphe qui permet de construire une courbe semhlable a une courbe donnee : O est un point fixe {Jig* i5),

Fijf. i5.

OAB une tige capable de tourner autour de O; AD, DC, CB sont trois tiges formant avec AB un parallelogramme articule" en A, B, C, D.

Si Ton joint OC, on aura -on = tysJ done le point ou la

droite ideale OC rencontre AD est fixe sur la tige AD, et ce point d£crit une figure semblable a celle que d£crit le point C quand on fait mouvoir tout l'appareil autour du point O. Si

44 CHAPITHB I.

un crayon est place" en M et si avec le point C on suit un contour donnd, le crayon d^crit la figure semblable, et il est clair que O est centre de similitude.

Le parall&ogramme de Watt est connu du lecteur, nous le citons simplement pour m£moire.

L'appareil Peaucellier, ou inverseur Peaucellier, permet de construire d'un trait continu la figure transformed d'une autre par rayons vecteurs r^ciproques.

L'inverseur Peaucellier {fig. 16) se compose d'un lo-

Fig. 1 6.

sange ABCD articule en chacun de ses sommets ; deux tiges £ gales OA et OC sont articul^es en A, en C et en O qui est un point fixe. Quand le point D decrit une ligne, le point B d£crit sa transformed par rayons vecteurs r^ciproques ; le p61e est

en O, le module est dgala OA — AD .

En effet, OB x OD est £gal a la puissance du point O par

rapport au cercle decrit de A comme centre avec AD pour

rayon.

Voici quelques applications de l'inverseur Peaucellier :

Si Ton fait ddcrire au point D un cercle, en articulant en

D une tige DQ capable de tourner autour du point Q et

telle que sa longueur QD = OQ, le point D decrira un cercle

passant en O, et alors B decrira une droite; Tappareil ainsi

constitue' redout le probleme que Watt s'etait propose :

transformer un mouvement circulaire en un mouvement

rectiligne.

Supposons maintenant que Ton fixe le point D ; on aura

toujours OD x OB = coast. = k 2 ; et, entre les rayons vectenrs DB = p, DO = p', on aura la relation

p'x(p + p) = A ! OU p= ,-!— •

Si p' = RcosO, c'est-a-dire si Ton assujettit le point O a decrire un cercle passant en D au moyen d'une tige QO articulee en Q et en O, le point Q etant fixe, on aura

A:* - R* cos* ci>

r R cos to

Supposons main ten ant que O soit le point B d'un nouvel

inverseur de Peaucellier; le point D de ce nouvel inverseur

decrira la courbe transformed par rayons vecteurs reciproques

de celle-ci, ou

Ar'*R cosu)

P "~ **— R*cos*w ou, en coordonnees rectilignes,

**7* -+-(**— R*)a:«-~ WRx = o;

c'est l'equation d'une conique rapportee a son sommet et tout a fait quelconque : parabole si k 2 = R 2 , ellipse si k 2 > R 2 , hyperbole si A" 2 <R 2 . Cette solution pour le trace des coniques est de M. Sylvester.

L'inverseur Peaucellier, un peu modified permet de tracer les conchoides d'un trait continu : adjoignons {fig- 17) a cet inverseur deux tiges KO et KB egales ; abaissons, du point D, DH perpendiculaire sur OK, le point H sera fixe; done, si Ton fait mouvoir la figure, D restera sur une perpendiculaire a OK menee par le point fixe H sur la tige OK. En effet, soien t

OD =rr p, OB = p', pp' = A*, OKB = « J

on aura

OH = p sin - = - 7 sin- = ik* : OK = const.

Si alors on fixe le point D et que Ton imagine une tige HM soud£e perpendiculairement k HK, le prolongement de cetle tige passera par le p61e D; si done H d£crit une courbe, M decrira sa conchoi'de.

Si Ton fait d^crire au point M un cercle passant en D au

Fig. 17.

moyen d'une tige fix£e en un point Q, tel que QM = QD, H decrira une conchoi'de de cercle p = R cos a> 4- a ; et, en appliquant en H Fun des points d£crivants d'un inverseur Peaucellier, l'autre point d£crivant tracera la courbe

p = ~ 9 qui est une conique.

r Rcosw + a * *

Voici un autre inverseur un peu plus simple que celui de Peaucellier. Consid£rons (Jig. 18) un trapeze isosc&le et ses

Fig. 18.

diagonales; supprimons les bases et formons avec la figure restante un syst&me arlicul£ en A, B, C, D. Si Ton prend M

et N fixes sur les tiges AC et IB, et tels que -^ = ^r> le

point fixe Q sur le prolongement de MN sera tel que MN x NQ = const. ; si Ton fixe N, les points M et Q d6cri-

GEOMETRIK PLANE. l\~J

ront des figures transform ees par rayons vecteurs reciproques.

En effet,

MN CN NQ NB