XXII. — Theorie des enveloppes
Consid6rons une Equation renfermant, outre les coordonn£es Xj y d'un point variable, un param&tre a,
Pour chaque valeur de a, cette equation repr^sentera une courbe ; toules les courbes obtenues ainsi constituent ce que Ton appelle une famille.
fitudions les deux courbes infiniment voisines de la famille, obtenues en donnant au param&tre les valeurs aeta + da, savoir
(0 A*,y,<*) = o, f(x,y,a + da) = o 1
ces deux courbes se couperont en g£ndral en plusieurs points. Si Ton consid£re l'un d'eux, on peut se proposer de trouver les coordonn£es de sa position limite quand da tend vers z£ro. Cette position limite est une des intersections successives des courbes de la famille.
La courbe dont 1'equation est
f(x,y y a -h da)—f(T,v, a) __ da ~~
48 CHAPITRK I.
ou, en design ant par 8 un nombre compris entre oet i,
f(x,y, a-f-6rfa) = o,
f design ant une derivee relative a a, passe par les points communs aux courbes (i). elle peut remplacer ( 2 ) ; a la limite, les points cherchls se trouvent done a l'intersection des courbes
Le lieu des points limites en question ou, si Ton veut, le lieu des intersections successives des courbes de la famille s'obtiendra en eliminant a entre les deux equations (2). On a donne* a ce lieu le nom tfenveloppe des courbes de la famille ; celles-ci portent le nom (i'enveloppees.
Theorems I. — L enveloppe d 9 une famille de courbes est tangente & toutes les enveloppies.
En effet, soit
liquation d'une famille de courbes; nous venons de voir que, pour en trouver Tenveloppe, il faut eliminer a entre cette equation (1) et sa derivee relative a a
Pequation (1) peut £tre considered comme celle de Tenveloppe, si Ion y suppose a non plus constant, mais e*gal a la fonction de x et de y que l'on obtiendrait en r£solvant liquation (2) par rapport a a.
Maintenant cherchons le coefficient angulaire de la tangente a l'enveloppe et a Tenvelopp^e au point commun #, y. A cet effet, differentions (1), en conside'rant a comme une constante ; nous aurons
df d/dy =Q
^ ' dx dy dx ~ '
GEOMETRIE PLANE. 4g
d'ou Ton d£duira le coefficient angulaire -~ de l'envelopp6e.
DiffeVentions au contraire la meme Equation, en supposant a fonction de x et de^ et deduit de (2); nous aurons
dx dy dx da\dx dy dx) '
mais, en vertu de (2), cette Equation se r£duit a
dx dy dx ~~
Cette Equation ne differe de (3) que parce que a dans (3) repre'sente une constante, et que dans (5) il repr6sente une certaine fonction de x ety; mais, au point (x,y) commun a Fenveloppe et a l'enveloppee, la constante et la fonction ont la m£me valeur; done (3) et (5) fournissent la meme valeur
de -^-> et par suite Tenveloppe et l'enveloppee ont m£me tangente. c.q.f.d.
On voit que ce th^oreme tombera en de'faut quand on aura
a la fois — = o, ~ = o, e'est-a-dire quand Tenveloppe sera
un lieu de points singuliers ; mais alors on ne conserve pas generalement la denomination d'enveloppe au lieu des intersections successives des courbes de la famille.
Theorems II. — Si Von considdre une famille de courbes, toute courbe tangente a chaque courbe de la famille est leur enveloppe.
En effet, soit /(#,/, a) = o liquation d'une famille de courbes; si une courbe G ayant pour equation ¥(x,y) = o leur est tangente, on pourra toujours determiner a en fonction de x et dey, de telle sorte que
quels que soient x ety. Alors
f(x,y, a) = o L. — Traite d' Analyse, II. 4
pourra repr£senter la courbe C tangente a toutes les courbes
de la famille. Tirons -^ de cette equation, en supposant a variable ; nous aurons
( P) d ±+ d l±+V(fo^fody\ =
dx dy dx da\dx dy dx ) et, en supposant a constant,
dx dy dx
Si les deux valeurs de -~- sont egales pour une ni^me valeur de x et y, il faut que Ton ait
da da dy da . * .
car -r — h -T- -r- = j- ne saurait etre nul, sans quoi a serai t
dx dy dx dx ' *
constant,
df
Or les points ou Ton a a la fois/= o, j- = o appartiennent
a Penveloppe. c . q . f . d .
On voit £galement que siF(:c, y) = o represente un lieu de points singuliers, liquation (P) devra Sire satisfaite en
supposant ~- = o, j- = o et/= o, c'est-&-dire en supposant
f= o et -^ = o. Un lieu de points singuliers d'une famille
de courbes fait done en general partie de Penveloppe de cette famille.
