XXIII. — Recherche de quelques enveloppes
Comme application de la th^orie que nous venons de de\elopper, cherchons d'abord Penveloppe des cercles represented par liquation
(i) (x — a)*-hy*=R*.
GfiOMfiTRIE PLANE. 5l
En diffigrentiant par rapport a a, on trouve
2{x — a) = o ou x = a, el l'£li mi nation de a donne
7* = R* ou 7 = ±: R,
equation qui repr^sente deux droites, r£sultat Evident a priori. Maintenant r£solvons encore le m£me problemc, mais en £crivant liquation (i) sous la forme ,
La differentiation relative k a donne i = o, r£sultat absurde,
et il semble qu'il n'y ait pas d'enveloppe. Pour peu que Ton
r£fl£chisse, on s'apercevra que les r£sultats, en apparence con-
tradictoires, que nous venons de rencontrer, ne s'appliquent
pas en reality a la me*me question. En effet, liquation (2)
repr^sente non pas les cercles (1), mais une serie de demi-
cercles qui ne se coupent pas et qui n'ont pas d'enveloppe.
Les demi-cercles
n'en ont pas non plus. Mais les cercles complcts
ont une enveloppe, que Ton obtiendra, non pas en diffe>entiant par rapport a a liquation pr£c£dente, car celle-ci est en r£alite Tensemble de deux Equations, mais en proc£dant de la man i ere suivantc. Donnons a a les valeurs a et a + h, et considerons les demi-cercles
a = x — /ft 1 — y*9
a -+- h — x -+■ /R* — y*, its se coupent an point donne* par les Equations
a = # — /R 1 — y\ A = a/R*— y* ou, a la limite pour h = o,
52 CHAPITRB I.
et le lieu des intersections sera donn£ par liquation
comme tout a l'heure.
En g£n£ral, les families de courbes dans lesquelles le param&tre entre au premier degr£ n'ont pas d'enveloppe; on sait y en effet, que liquation
repr£sente un faisceau de courbes passant par des points fixes, et que
repr£sente des courbes qui ne sauraient avoir de points communs et par suite d'enveloppe. D'ailleurs la differentiation relative a a donne, dans le premier cas, <K#, y) = o et, dans le second, o = i .
* Probleme. — De tous les points d' une parabole onabaisse des perpendiculaires sur Vaxe et sur la tangente au sommet; trouver Venveloppe de la droite qui joint les pieds de ces perpendiculaires.
L'equation de la parabole est
les pieds des perpendiculaires en question ont done pour coor-
donnees o,y et — > o; Inequation de la droite dont on cherche
l'enveloppe est
ou
2/>X-t- Yy=y*- 9
en ^liminant^ entre cette Equation et sa d6rivde
on a
Y«-*-8pX = o;
GfiOMfiTRIE PLANE. 53
l'enveloppe cherch^e est done une autre parabole de param&tre quatre fois plus grand.
