XXIV. — Sur quelques simplifications que peuvent presenter
les calcnls d'enveloppes.
Pour trouver l'enveloppe d'une famille de courbes on ^limine a entre cette Equation et
l'enveloppe peut done 6tre d^finie : le lieu des points pour lesquels V Equation (i) a une raclne double; par suite, le lieu de ces points s'obtiendra en £galant k z£ro le discriminant
de liquation (i) rendue homog&ne en remplaganl a par^*
Soit
liquation (i) rendue homog£ne; on pourra la remplacer par
et le systeme (i), (2) par le syst&me (2), (3). Or, en combinant (2) et (3), on trouve ~ = o; done l'enveloppe d'une
famille de courbes, contenant sous forme homog&ne les
param&tres a, 6,
s'obtient en iliminant a et b entre
to 530 ' i =0 - Ainsi l'enveloppe des paraboles du paragraphe pr£c£dent
a/?X ■+- Yy — y* = o
54 GHAP1TRE I.
pouvait s'obtenir de suite en egalantle discriminant Y 2 -f- 8/?X a zero.
II arrive souvent qu'au lieu de donner une famille de courbes au moyen d'une seule Equation on la donne au moyen de plusieurs Equations, telles que
Les Equations cp 2 = o> • • • > <p/i = o permettant d'exprimer a 2T a 3 , . . . , a n en fonction de a K , par exemple, l'equation f A = o y dans laquelle a 2 , a 3 , . . . , a„ seront fonctions de a< , repr£scntera une famille de courbes ; cela revient a dire que I'ensemble des Equations (i) repr£sente cette famille.
Pour avoir l'enveloppe, on diflferentiera les equations (i) et Ton aura
-^ da x -+■ -j-*- dai-±. . . -+- -r*— da„ = o, o<i\ ocli oa n
pZda^pH da,*-. . .+ ^ da n = o; da i oa% oa n
la premiere de ces Equations peut £tre consideree comme la d£riv£e de la premiere Equation (i), prise par rapport a a 4 , a
la condition de supposer -r^ > • • • > -j-^ remplaces par leurs
valeurs d^duites des a litres formules (2). Cela fait, il faudrait eliminer a { entre les premieres Equations (1) et (2), ce qui revient a Eliminer a l? a 2 , ..., a n et leurs diffcrentielles entre (1) et (2); or le r^sultat de l'elimination des diflferentielles est
Done, pour trouver Uenveloppe d } une famille de courbes donates par plusieurs Equations, ilfaut eliminer les para-
metres variables entre les equations donnies et le determinant f one tionnel de leurs premiers membres egali a ze*ro. Quand les variables a iy a 2j ... entrent sous forme homogene et sont en nombre sup£rieur d'une unit£ au nombre des equations, on peut obtenir plus d'^quations pour faire Y6\imination ; les nouvelles equations rentrent bien entendu dans les anciennes. Soit done a n+i une nouvelle variable introduite pour Phomogen£it£; outre liquation (3), on aura a consid£rer les Equations (i), et Ton pourra les £crire
do. d®\ dy*
dd\ ddi da
at -ji — h <zj -ji h . . . -+- a n +i — ! — = o ;
or on en tire
<*(?!» • ■ •» ?») <K?li • • "> ?«)
L'un des denominateurs £tant nul en vertu de (3), les autres le sont done aussi, ce qui peut 6tre utile.
Probleme 1. — Trouver Uenveloppe d } une droite de longueur constante qui s'appuie sur deux droites rectangulaires.
Liquation de cette ligne rapport£e aux deux droites sur lesquelles elle s'appuie est
(i) bx -h ay = ab,
a et b designant ses coordonnees a l'origine. Si Ton appelle / la longueur de la droite, on aura
l'enveloppe cherch£e s'obtiendra en ^liminant a et b entre (i), (2) et leur determinant
= ou ax — by = — 6 s •+- a* ;
56 GHAPITRB I.
de(i) et (3) on tire
(a* -+-£*)# = a s ou
(a*-\-b*)y = — b* ou
et par suite, en vertu de (a),
C'est aussi le lieu des pieds des perpendicuiaires abaiss£es d'un point d'un cercle sur la droite qui joint les pieds de ses coordonn£es relatives a deux axes rectangulaires passant par le centre.
Probleme II. — Trouver I'enveloppe des ellipses d'aire donnde, ay ant leurs axes dirigis suivant les mimes droites.
Liquation de ces ellipses est
a*b* = kK
Pour trouver I'enveloppe, il faut eliminer a 2 , b 2 entre ces Equations et liquation obtenue en Igalant a z£ro le determinant des fonctions a 2 y 2 -\- b' 1 x 2 et a 2 b 2 pris par rapport a a 1 et b 2 , ou
b* a* ou
le r£sultat de l'£limination est
il donne les deux hyperboles
Remarque. — L'enveloppe de X — ?AY -hX 2 Z = o, ou X, Y, Z sont des fonctions de x, y et ou X est un param£tre
GfiOMfiTRIE PLANE. 5j
variable, peut s'obtenir en ecrivant que celte Equation a des racines egales ; cette enveloppe a done pour Equation
(a) Y» — XZ = o.
En particulier, on voit que, si X, Y, Z sont des coordonnees trilin&ures ,'1'equation propos^e est celle d'une tangente quelconque a la conique (a).
