XXV. — Des coordonnees tangentielles
Si l'on consid£re une droite
dont les coordonnees a l'origine sont 7 > -> cette droite sera
parfaitement determinee quand on donnera $ et r 4 ; ces quantity portent le nom de coordonnees tangentielles de la droite et l'on dit que les coordonnees x,y d'un point sont des coordonnees cartisiennes. Si maintenant on etablit entre $ et 7} une relation telle que
cette droite enveloppera une certaine courbe dont (2) sera dile V equation tangentielle, et (1) sera Tequation en coordonnees ordinaires d'une de ses tangentes ayant pour coordonnees £, 7|.
Dans ce syst&me de coordonnees, un point, comme nous allons le voir, est represent^ par une equation, et, pour avoir l'equation d'une courbe quelconque, il suffit d'exprimer que la droite (1) est une tangente.
Equations du premier degr£. — Toute Equation du premier degri reprisente un point.
En effet, l'equation (ibis) a£-h br t +c = o
etablit une relation du premier degre entre £ el rj. L'equa-
tion (i) ne depend plus alors que d'un seul parametre entrant au premier degre* et, par suite, repr£sente un faisceau de droites passant par un point fixe qui est leur enveloppe. Effectuoos les calculs : on tire de l'equation (2 bis)
a et, en portant cette valeur de 5 dans (1).
Or
c'est liquation d'une droite passant par l'interseclion des
deux droites
ou bien
Le point repr^sent^ par (2 bis) a done pour coordonn£es
et • R£ciproquement, si Ton veut obtenir l'equation
tangentielle du point dont les coordonn£es sont x ety , il faudra £crire que la droite (i) passe par ce point; cette equation sera
La droite dont les coordonnees sont o et £ est parallele a Paxe des jk; la droite dont les coordonnees sont o et o est la droite de Piniini.
Liquation a\=\ repr£sente un point dont Pordonnee est nulle : il est par suite situe* sur Paxe des x\ l'equation const. = o repr^sente Porigine des coordonnees;
a% -hbr i = o repr^senterait au contraire un point a Pinfini.
£quations du second degre. — Une Equation du second degri reprisente une conique.
En efiel, supposons liquation suivante du second degr6
/aij)=o;
pour obtenir Inequation de la courbe en coordonnEes ordinaires, il faudra chercher l'enveloppc de (i), ce qui se fera en egalant a zEro le determinant de (i) et (2) et en Eliminant i, 7[ enlre (1), (2) et Inequation ainsi obtenue; cette Equation est
x ;£ —y it = °
ou bien
1 df - = i #, x'd\ y'&r^
et, en supposant que Ton rende (1) et (2) homogenes par ('introduction des nouvelles variables z et £,
ar^-t-^Tj
Si Ton Egale ces rapports a p, on a
z dX,
(hi
En Eliminant p, $. t\, £ entre ces Equations et (1), on en deduit une Equation du second degre. Soit
cette Equation sera
Reciproquement, l'Equation tangent ielle de la conique
Ax*-h2Bxy-h Cy* -*-%Dxjs -\- *Ejrx -hFz* = o
s'obtiendra en 6crivant que la droite (1) 1'enveloppe ou la touche; la condition pour qu'il en soit ainsi est (p. 1 1)
$ tq — 1 o
On remarquera Panalogie entre cette formule et la pr£c6dente, analogie qui se d£veloppera et s'expliquera plus loin.
Equations de degre superieur. — Si liquation /(£, tj) = o est de degr£ sup&rieur, ou m^me transcendante, on obtiendra liquation ordinaire de Penveloppe en £liminant toujours £, 7|, £ entre (1) et (3); mais liquation r6sultante n'est pas d'un degr6 £gal a celui de/.
