XXVII. — Recherche des points de contact d'une courbe
avec 80s tangentes, etc.
Nous avons vu plus haut que les tangentes communes a deux courbes
donn^es en coordonne'es tangentielles, avaient pour coordonn£es les solutions communes a ces deux Equations ; il en r£sulte que, si elles sont de degr£s m et n, le nombre des tangentes communes sera wn. Si Ton convicnt d'appeler classe d'une courbe le degre" de son Equation tangentielle, on voit que deux courbes de classes m et n ont mn tangentes communes. Nous allons voir qu'une courbe de degre m est en general de la classe m(m — 1); le nombre des tangentes communes a deux courbes de degres m et n est done mn (m — i) (n — i).'
Theoreme. — Si le degre' de V Equation tangentielle d f une courbe est /*, on peut lui mener par un point donne n tangentes ; et, vice versa, si par un point donne* on peut mener a une courbe n tangentes, le degre" de son equation tangentielle sera n et Vqn dira qu'elle est de n Ume classe.
En effet, le nombre des tangentes a la courbe /(£, r\) = o,
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qui passent par un point a\ -+- br k -f- c = o, est egal au produit des degr£s de ces deux Equations; il est done dgal au degr£ de /, et vice versa.
II r6sulte de la que liquation tangentielle d'une courbe de degr6 m est de degr6 m(m — i), puisqu'on peut lui mener en g£n£ral m(m — i) tangentes par un point ext£rieur.
Probleme I. — Etant donnie une courbe en coordonnies tangen tie lies
et les coordonnies £, tj d'une de ses tangentes, trouver l' equation du point de contact de cette tangente.
Liquation du point de contact est celle d'un point qui apparlient a deux tangentes infiniment voisines, £, t\ et \ -+- rf£, fi -+- dr\ ; liquation suivante
aS-f- £H-4-c = o
du point en question, ou H, H sont les coordonn6es courantes, devra done 6tre satisfaite pour S = £, H = t,, et pour
E = \ 4- d\ et H == r t •+• dr t ;
on doit done avoir
a\ -h br± -+• c — o, ad\ -f- bdt\ = o;
d'ou Ton conclul, en £liminant a, 6, c, (a)(S-0^-(H-r 1 )^ = o ou H-ij = ^(S-J).
Telle est liquation du point de contact, analogue a celle de la tangente en coordonn£es ordinaires. Liquation (i) differentiae donne
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et, en £liminant d£, dr\ entre (2) et (3), on a liquation d'un point de contact sous la forme
Si l'on rend la fonction/ homogene par l'introduction d'une nouvelle variable s» cette Equation prend la forme
ou
(4) - dg ^ H 5^ ^ ^ dC — °»
en observant que
Probleme II. — Trouver I' intersection d'une droite avec une courbe donn&e en coordonnees tangentielles.
Reprenons les notations et les formules du probleme precedent. Soient £ , r\ les coordonnees de la droite donn£e. Liquation (4) est celle d'un point situ£ sur la courbe; pour cxprimer qu'il contient la droite £o> 7u> il faudra ^crire que son Equation est satisfaite par les coordonnees de la droite ; on aura done
(5) {.jZ+^^h- 5,^=0.
Cette equation, jointe k celle de la courbe, fera connaitre les tangentes de la courbe aux points ou la droite donn£e la rencontre; cette Equation (5) est de degr£ m — 1 si / est de degr£ m. Done m(m — 1) est le nombre de points communs k la courbe et a la droite.
II r^sulte de \k qu'une courbe de m ii:me classe est d'ordre m(m — 1 ). 11 y al 4 une sorte de paradoxe ; en effet, une courbe de degr£ m(m — 1) serait de la classe
[m(m — j)][m(m — 1) — 1], nombre sup6rieur k m. II faut simplement conclure de Ik que
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la courbe la plus generate de degre m n'est pas la courbe la plus g£n6rale de sa classe, ct que la courbe la plus g6n£rale de classe m n'est pas la courbe la plus generate de son degre.
