XXVIII. — Coordonnees trilineaires

Si Ton exprime que la droite

louche la courbe

dnnn£e en coordonnees homogenes ou trilineaires, on obtient une equation

que Ton peut regarder comme V equation tangentielle homogene de la courbe (2) ou comme son equation en coordonnees trilineaires tan gentie lies ; ou, comme Ton dit, en coordonnees trilatdres; dans Pun ou Tautre cas, £, r,, £ seront les coordonnees de la droite (1).

11 va sans dire que, lorsque liquation (3) est du premier degre, elle repr6sente un point; quand elle est du second degre, elle represente une conique ; quand elle est du degre n 9 elle represente une courbe de classe n.

Les coordonnees du point qui a pour equation

(4) /J-h/ni) -+- nt, = o

s'obtiendront en cherchant le point fixe par lequel passe la droite (1) quand liquation (4) a lieu; en appelant x,y, z les coordonnees de ce point, on trouve

Soient toujours a, b, c les c6tes, A, B, C les angles du triangle de reference et

liquation d'une droite; en appelant s l'aire du triangle de

reference, on a

ax -+- by -f- cz — is.

Appelons $i, 7j f , £, les distances des sommets A, B, C du triangle de reference a la droite (i), consid^rees comme positives ou negatives suivant qu'elles sont dirig£es dans un sens ou en sens contraire.

Soient, en coordonn6es ordinaires,

x = X cos a -t- Y sin a — p = o,

y = X cos p -f- Y sin p — q = o, z = X cosy -+- Y sin y — r = o

les Equations des cdt£s du triangle de reference; liquation de (i) en coord onn£es ordinaires sera

X(J cosa-hr, cosfi -+- £cosy)

-+- Y (£ sin a -+- tj sin fi -+- £ sin y ) — (p \ -+- q t\ ■+- r £) = o,

et Ton aura

.. £ (/? sin A -4- q sinB -+- rsin C)cosec A

/; 2 -+- 7/ 2 -f- £ 2 — 2Tj5 cos A — a S£ COS B — 2 fo cos G

Les coordonnees 5, tj, £ sont done proportionnelles a £i, 7) t , £ 4 et pourront, si Ton veut, £tre regardees comme £gales a ces quantity.

Or (p sin A + q sinB 4- r sinC) cos£c A est £gal a

ap-^-bq -+- cr

e'est-a-dire a — > en sorte que la formule pr£c£dente donne les relations

a\\ bt\ x c^i 2*

£ T J ? /?*-^ T i*-+-C 2 — 27)£C0SA— 2££c0sB — 2^ COsC

d'ou Ton tire

(a{,)» -+-(67)0* + (cW»

— 2 6ctj, £,cosA — 2ca^5iCosB — 2a6£i7) 1 cos G = 4 s 1 ,

relation qui lie entre elles les trois distances £4, 7^, £ que

GfiOMfiTRIE PLANE. 67

Ton pourra, si Ton veut, consid£rer comme les coordonn^es d'ane droite. On en conclut que

S 1 -*- 7 ! 1 -*- P — 2t,^cosA — a^cosB — afo cosG = o

est Inequation de deux points a l'infini. Pour trouver ces points, on meltra Inequation pr^c^dente sous la forme

(; — r, cosC — £cosB)* -+-C 7 ) s > n G ■+■ £sinB)* = o ou

5 — Yie^Ci/^7^ — c ±b/~ =0 ;

les coordonn^es de ces points sont proportionnelles a

ce sont les ombilics, comme on le verra § XXXIV.