XXX. — Des figures polaires reciproques
On appelle polaire riciproque d'une courbe
(i) /(*>.r>*) = Oi
par rapport k line conique
l'enveloppe des polaires des divers points de la courbe relatives & la conique.
Pour trouver la polaire r£ciproque de (i) par rapport a la conique (2), il faudra chercher l'enveloppe de la polaire du point (x, y, z), savoir
dy ay
y dy
que
Ton
peut
aussi
6crire
dq> dy
dy
Pour cela, on £liminera x f y y z en tre (1), et les Equations obtcnues en £galant a z6ro les determinants des premiers membres de (1) et (4), savoir
dx
dy
dy
ce que l'on peut £crire
dx'd% dy'dn dz' d$' I'une de ces equations est d'ailleurs surabondante.
g£om£trie plane. 69
La polaire reciproque d'une courbe est aussi le lieu des pdles de ses diverse* tangentes.
En effet, rappelons que le pdle d'une droite
Aa?-+- B7-+-C* = o,
relativement a la conique (2), est don 116 par la formule
dx oy oz
le pdle de la tan gen te
ox oy oz
a la courbe (1) sera donne par la formule suivante, ou £,-/}, £ seront les coordonn^es du p6le,
dx * d\ dy ' eh) dz' d£
Pour avoir le lieu du p61e, il faudra eliminer x> y, z entre ces Equations et (1). C'est le procede employe pr^c^deminent pour trouver la polaire reciproque de (1).
II r£sulte de la que la polaire reciproque d'une courbe a pour polaire reciproque la courbe elle-m6me, ce qui justifie la denomination de polaires riciproques donn^e aux courbes que nous venons de considerer.
II faut remarquer que la classe d'une courbe est egale au degre de sa polaire reciproque, et vice versa. En effet, si Ton considere une s^cante a la courbe proposee, elle la rencontrera en m points, m designant le degre de la courbe; les polaires de ces monies points concourront au pdle P de la droite consider et seront tangentes a la polaire reciproque : ce seront d'ailleurs les seules tangentes que Ton pourra mener de P a cette courbe : elle est done bien de la classe m.
Ainsi la polaire reciproque d'une conique est une conique.
70 GHAP1TRE I.
