XXXI. — Des polaires reciproques par rapport a on cercle

Cherchons (Jig* 19) la nature de la polaire reciproque (Tune courbe par rapport au cercle O de rayon R. Par un point M de cette courbe, menons line tangente MAB qui

Fig. 19.

coupe le cercle en A et B, puis les tangentes AS et BS & ce cercle; le point de concours S de ces tangentes sera le pdle de MAB ou le point de la polaire reciproque correspondant a M. On a, en joignant OS et en appelant P le point de rencontre avec AB,

OPxOS = R*;

or le point P appartient k la podaire de la courbe proposed par rapport au centre du cercle ; done :

La polaire reciproque d'une courbe par rapport & un cercle est la transformie par rayons vecteurs reciproques de la podaire de cette courbe par rapport au centre du cercle et le module de la transformation est le carrS du rayon du cercle.

XXXII. — Calcul des coordonnees de la polaire reciproque d'une courbe en fonction des coordonnees des points de la courbe.

Consid£rons le cercle imaginaire

GBOMBTRIB PLANE. 71

la polaire du point (x } y) par rapport a ce cercle aura pour Equation

Supposons que le point x,y suhisse un emplacement dx, dy\ l'equation de la polaire deviendra

\(x -h dx) -f- tj(7 -f- dy) -+- X>z

Intersection de cette droite avec la premiere satisfera a

liquation

%dx-*c-y\dy -i-X^dz = o,

ou l'on peut supposer dz = o ; on a done

zrf/ — .ycfe a?^s — ^cte x dy — y dx

On en conclut les coordonn£es du point (£, tj, £) de lo figure polaire r^ciproque de la figure de'erite par le point ( x, y). En d£truisant l'homog£n£it£, on a

t , t dy —dx

<«> *= *4r-yd* ' * = *<fy-ydx '

Les coordonn^es de la tangente au lieu d£crit par le point (x,y) sont faciles a calculer, car cette tangente a pour equation

(Y —y)dx — (X — x)dy = o,

et ses coordonn^es a l'origine ont pour inverses les expressions (i). Done les coordonn£es tangentielles d'une tangente a une courbe sont e'gales aux coordonn^es du point correspondant de la polaire reciproque par rapport au cercle \* + *i 2 4- 1 = o. Done :

IS Equation tangentielle d'une courbe est aussi l'equation de sa polaire reciproque en coordonnees ordinaires, quandon suppose les coordonnees tangentielles remplacees par des coordonnees ordinaires, la conique directrice itant le cercle x 2 -\-y 2 -H i = o (voir p. 68).