II. — Coordonnees homog6nes
II y a souvent un immense avantage a repr£senter les coordonnees d'un point, non plus par x ety, mais par - et ^-- De
cette fag on, les Equations des courbes deviennent homogenes en #, y, z, et il est facile de repasser de ces coordonn^es homogenes aux coordonnees ordinaires ; il suffit pour cela de supposer z = i . Nous aurons plusieurs fois l'occasion d'appr^cier Futility de ces coordonnees.
Pour le moment, nous observerons que le cbangemenl de
x ety en - et ^ n altere pas le degr6 d'une courbe alg£brique
apr&s l'£vanouissementdes denominateurs. Ainsi, par exemple, la droite representee par
ax -+- by •+- c = o, apres le changement de x ety en -- et ^> prend pour Equation
ax by
ou
(i) ax -+- by -h cz = o.
Quand on suppose que le z d'un point tend vers z£ro, ce point se transporte a l'infini, si Ton suppose, comme on le fait tou-
GfiOMfiTRIE PLANE. 3
jours, que x, y> z restent finis; liquation z = o convient done a lous les points situ£s a l'infini.
Si Ton convient de dire que Fequation (i) repr£sente toujours une droite, quels que soient a, 6, c, r£els, imaginaires, nuls ou differents de zero, cz = o ou z = o repr£sentera une droite ayant tous les points a Finfini ; e'est ce que Ton appelle la droite de Vinfini.
Quand tous les points d'une courbe de degre* m se sont transports a l'infini, liquation de cette courbe prend la forme cz m = o; elle doit alors 6tre consideVEe comme requite a m droites confondues et transporters a l'infini.
Les points a Finfini sur une courbe s'obtiendront en faisant z = o dans Fequation rendue homogene de cette courbe; on dira alors qu'on Fa coupie par la droite de Vinjini.
Par exemple, la courbe du second degr6
A T* -f- k'y* -+- A'z* -*- a ftyz -+- a B'xz ■+- 2 B'xy = o,
coupee par la droite de Finfini 5 = 0, fournit les points donn£s par les Equations
z = o et A#*-h %B"xy-\- A'^* = o.
La derniere de ces Equations fournit les directions — dans
lesquelles les points s'eloignent sur la courbe; si cette Equation a une solution double en — > deux points a Finfini doivent £tre considers comme confondus, et Fon a
la courbe est une parabole. On peut done dire que la parabole touche la droite de Finfini, et que toute courbe du second degre* qui touche la droite de Finfini est une parabole. On sait que Fensemble des termes de degre* le plus eleve* dans une equation, Egal£ a z£ro, reprEsente le faisceau des directions asymptotiques. D'apres ce que nous venons de voir, le faisceau des directions asymptotiques coupe la droile de Finfini aux m£mes points que la courbe elle-m£me. Les
4 CHAPITRB I.
droites asymptotiques sont, si l'on veut, des droites rencontrant la courbe en un point a l'infini.
II etait bon, je crois, de rappeler ces principes, a cause d« leur grand e importance.
