III. — Sur les taiigentes aux courbes planes

La tangente a une courbe en un point M est, comme Ton sait, la limite vers laquelle converge une s£cante passant par le point M, quand un second point d'intersection tend a se confondre avec le point M. Rapportons (fig. i) la courbe a

deux axes Ox, Oy\ si Ton considere la s£cante MM' el les coordonnAes OP = x, PM =y du point M, les coordonne>s OF et P^M' du point M' pourront e*tre representees par x -+- bx et y + Ay, et Ton aura

(i) NM' = Aj, PP' = MN = A#.

Le coefficient angulaire de la s6cante MM' sera -^^ = -^- ;

° MN ix '

ce coefficient tend vers la limite y f =-^, quand bx tend

vers zero, c'est-a-dire quand le point M' se rapproche de M. Ainsi le coefficient angulaire de la tangente a une courbe est la dirwie de Vordonn&e du point de contact consider?? comme f one tion de I'abscisse.

Soit MK la tangente en M (et cette tangente n'existera

GfiOMfiTBIE PLANE. 5

que si ->- lui-m6me existe), soit K le point ou elle rencontre Pordonn6e PM'; on aura

NK = MN./ ou bien

(a) INK = bx.y=y'dx = dy.

Ainsi la longueur INK est la representation g£ometrique de la valeur de la diffe>entielle dy. La longueur M'K, difference entre A^ = NM' et rf^ = NK, est done du second ordre, et il en sera de me* me de la distance du point M' a la tangente MK a fortiori; done

La distance d*un point d*une courbe a la tangente menee par le point injiniment voisin est du second ordre.