XXXIV. — Sur les ombilics et les droites isotropes
Nous avons d&ja dit ce que nous devious entendre par la droite de l'infini. On appelle droite iso trope une droite qui
a pour coefficient angulaire ±y/ — i. Par tout point a, J3 passent deux droites isotropes ayant pour Equations
G&OMtiTRIE PLANE. 7$
dont l'ensemble peut £tre repr£sent£ par
Les deux droites isotropes passant en a, (3 forment un cercle de rayon nul, ayant son centre en a, (3. Ce sont aussi, si Ton veut, les asymptotes de tous les cercles ayant leurs centres en a, |3. Toutes les droites isotropes rencontrent la droite de rinfim en deux points fixes, que Ton appelle ombilics. Quoique ces notions soient en general bien connues du lecteur, nous a lions pr^ciser celle des ombilics.
Prenons des coordonn£es trilin£aires : liquation du cercle circonscrit au triangle de reference est
yz sin A -f- zx sin B -h xy sin C = ou ayz -+- bxz -r- cxy = o,
A, B, C ddsignant les angles du triangle de reference; a, 6, c ses c6t£s (on s'en assure facilement en remplacant x y y, z par leurs valeurs en coordonn£es ordinaires). Liquation d'un cercle quelconque s'obtiendra en ajoutant au premier membre de cette Equation des termes du premier degr£ par rapport aux coordonn£es ordinaires, soit, en coordonn£es trilin£aires, des termes tels que
{ax -h by -h cz)(lx -+- my -+- nz) y
car le premier facteur est une constante, le double de l'aire du triangle de reference. Ainsi liquation d'un cercle quelconque est
(1) ayz -T- bxz -+■ cxy -+- {ax -r- by -+• cz){lx ~ my -+- nz) = o.
Liquation g6n£rale des droites isotropes s'obtiendra en £crivant que le premier membre de cette Equation est le produit de deux facteurs du premier degr£, ou en annulant son discriminant.
Si l'on coupe le cercle (i) par la droite de Pinfini
(2) ax ->rby -\-cz = o,
74 GHAPITRB I.
on obtient le m^me resultat qu'en coupant le cercle
( 3 ) ayz -k-bxz-^r cxy = o
par la me* me droite. Done tons les cercles, tons les couples de droites isotropes rencontrent la droite de Vinfini aux deux m^mes points , dont les coordonnees x,y 9 z sont solutions de (3) et (2).
En 61iminant z entre (2) et (3), on a
( x* -i-y*)ab -+- xy(a* -+- b x — c l ) = o,
ce que Ton peut £crire, en divisant par ab,
x * -\-y* -\-ixy cos G — o ; d'ou
Z = — cosG=h/ :r TsinG = — e* *""'
ou, si Ton veut,
substituons ces valeurs dans liquation (3), ou
x sinA -+-y sinB -h z sinC = o; nous aurons
sin A H- e^QV^sinB -f- e^^V^sinC = o.
Pour que cette Equation ait lieu, il faut prendre des signes contraires devant G et B dans les exponentielles. Les formules (4) donneront alors
ou
GfiOMfiTRIB PLANE. jS
On peut remarquer qu'en appelant x, y, z et a/, y\ z 1 les coordonn£es des ombilics, on a
xx =yy = zz
En tout cas, l'ensemble des ombilics pourra toujours e*tre repr^sente* par les deux Equations
ax -i- by -T- cz = o, a b c
