XXXV. — Foyers des courbes planes
On appelle foyer d'une courbe plane un point d'ou Ton peut mener a cette courbe deux tangentes isotropes. C'est aussi, si Ton veut, le centre d'un cercle de rayon nul doublemen t tangent a cette courbe; la corde de contact est la directrice correspondante. Cette definition est la generalisation toute naturelle des foyers dans les courbes du second degre\
Soit
liquation tangentielle d'une courbe ; alors
exprimera que y — |3 + (x — a)^,' — 1 = est tangente a la courbe.
Supposons liquation pr£c6dente, mise sous la forme
P-+-/ 7r iQ = o; alors
P — / :r TQ = o
exprimera que y — j$ — (x — a)y/ — 1 = o est tangente a la
courbe, et
seront deux Equations qui d£termineront les foyers. Soit n la
j6 CHAPITRE I.
classe de la courbe consid6r£e, n 2 sera le nombre de ses foyers. C'est du reste ce que Ton peut constater comme il suit :
Par chaque ombilic du plan, on peut mener n tangentes a la courbe : ces 2/1 tangentes se rencontrent en n 2 points, qui sont les foyers.
II y a une exception a la regie que nous venons de signaler : supposons que la courbe conside>6e passe i fois par les ombilics du plan; par chaque ombilic on pourra mener n — 2( tangentes a la courbe, distinctes des i tangentes que Ton peu mener par l'ombilic me" me, et des i tangentes confondues avec la droite de l'infini; il y aura done (n — ii) 2 foyers, intersection de ces droites distinctes des tangentes singuliires dont nous venons de parler.
Mais chacune des tangentes non singulieres que Ton peut mener par un ombilic rencontrera les tangentes a l'autre ombilic en i points, ce qui fait en tout n — 21 points de rencontre; ces n — ii points de rencontre, ainsi que les n — 2 i autres points obtenus en permutant les roles des ombilics, sont des foyers reels, que nous appellerons avec M. Laguerre les foyers singuliers de la courbe.
II y a done ( n — 2 i) 2 foyers ordinaires et 2 (/i — 21)1 foyers singuliers, en tout
n* — 4 * n ■+" 4 l * -*- a /u — 4 & = n% — 2 ni
foyers; mais, si Ton considere les foyers singuliers comme doubles, il y aura
n* — 4 in -+- 4 i % ~ ini — 8 i* = n* — 4 **
foyers, qui, avec les ombilics qui sont des foyers d'ordre de multiplicity 2i 2 , feront les n 2 foyers dont une courbe de classe n est susceptible.
GfiOMtiTRlE PLANE. 77
EXERCICES ET NOTES
1. On appelle podaire oblique d'une courbe, par rapport a un point O, le lieu des picds des obliques menees du point O sur les tangentes a la courbe, ces obliques faisant un angle constant avec les tangentes correspondantes. Cela pose, prouver que :
Toutes les podaires obliques d'un merae point O par rapport a une courbe donnee C sont semblables.
Les podaires obliques en question ont pour enveloppe la courbe G.
2. On mene toutes les tangentes a une courbe donnee C, ces tangentes rencontrent deux droites fi xes en A et B : soit M le milieu de AB ; on propose de montrer que, si Ton sait construire g^omctriquement la tangente en un point quelconque de la courbe G, on saura aussi construire la tangente en un point quelconque du lieu du point M.
