L'enveloppe de la courbe suivante, ou 8 est variable
x cos"* 8 -r-y sin™ 8 = 1, a pour equation
7. Trouver l'enveloppe d'une corde de grandeur constante dans l'ellipse ou l'hyperbole.
8. Trouver l'enveloppe des cercles coupant deux cercles fixes sous des angles 6gaux. (L'enveloppe se decompose.)
9. Un angle de grandeur constante pivote autour d'un point d'une ellipse, ses c6tes rencontrent l'ellipse en A et B; trouver l'enveloppe de la droite AB.
78 CHAPITRB I.
10. Si par un point O on mene une droite, cette droite rencontrera une courbe d'orde m en m points A 4 , A 2 , . . ., A m ; determinons sur cette droite un point A, tel que
OA ~ OA, OA 2 OA m '
le lieu du point A, quand on fera tourner la droite autour du point O, sera une droite; trouver l'enveloppe de cette droite, quand on fait decrire au point O une droite.
11. Trouver l'enveloppe de la conique suivante, ou X, Y, Z sont des fonctions lineaires de x, y,
X*X» — X(X*-+-Y« — Z*)-hY« = o;
conclure de la l'equation g6n£rale des coniques inscrites dans un quadrilatere.
12. Trouver l'equation tangentielle des foyers d'une conique donnee, soit par son equation ordinaire, soit par son equation tangentielle.
13. Trouver Penveloppe d'une serie de cercles ayant leurs centres sur une spirale logarithmique (r = e®) ct passant par le point auquel la spirale est asymptote.
14. Trouver Tenveloppe du diametre d'un cercle qui roule sur une droite sans glisser (cycloide).
15. Trouver l'enveloppe d'une serie de cycloi'des engendrdes par lcs points d'un cercle variable, roulant sur une droite fixe; on suppose que toutes les cycloides ont un point de rebroussement commun. [La cycloide a pour equations x = a(u — sinu), y = a( 1 — cos a), u d£signant un parametre variable.] Y a-t-il une enveloppe proprement dite?
16. On donne une courbe et un point O : sur chaque rayon vec-
teur OM de cette courbe on compte une longueur OM'= >
a ctant un nombre constant; on propose de tracer la tangente au lieu des points M', connaissant la tangente au lieu des points M. Prendre pour la courbe donnee une droite, un cercle, etc.
17. On donne deux courbes; soient M et M' deux points pris sur Tune et l'autre courbe et tels que les tangentes aux courbes en ces
g£om£trie plane. 79
points soient paralleles; prouver : i° que, N etant le milieu de MM', lelieu des points N aura pour tangente en N une droite parallele aux tangentes en M et M' aux courbes proposees; 2° que, si par un point fixe on mene des droites OP £gales et paralleles a MM', la tangente en P au lieu des points P sera parallele a la tangente en M au lieu des points M.
48. £tant donnees deux droites concourantes AB et AG et un module k, on transforme la droite AB par rayons vecteurs reciproques en prenant pour poles successivement tous les points de AC; on obtient ainsi une serie de cercles dont on demande l'enveloppe.
49. On donne deux cercles Get C et une courbe A a laquelle on sait mener les tangentes, on cberche les polaires d'un point M de la courbe A par rapport aux cercles C et C'; soit M' le point de concours de ces polaires : le lieu du point M' est une certaine courbe a laquelle on demande de construire une tangente en un point donne\
20. Les cdtes d'un angle de grandeur constante touchent sans cesse deux courbes fixes ; on propose de construire la tangente au lieu de son sommet.
21. On donne une droite et une courbe fixes, on mene les tangentes a la courbe; soit MT Tune d'elles, T designant le point de rencontre de cette tangente avec la droite fixe DT : on m£ne la bissectrice de Tangle DTM; trouver l'enveloppe de cette bissectrice. (£tude du cas oil la courbe donnee est un cercle.)
22. Etant donnee une courbe, on lui mene des tangentes, et, par les points ou ces tangentes rencontrent une droite fixe, on lui mene des perpendiculaires, ces perpendiculaires enveloppant une courbe; on demande de trouver le point ou l'une de ces tangentes touche son enveloppe.
23. Soient p, q, r, . . . des normales communes a une droite et a des courbes fixes P, Q, R, . . .; supposons que Ton ait
la droite en question enveloppe une courbe G, et le point ou la droite
touche son enveloppe G est le centre de gravit6 de masses -p > — >
~y . • • , placees sur la droite aux points ou les droites /?, q, r, ... la rencontrent.
80 GRAPITRE I.
24. Les distances p, q d'une droite a deux points fixes P, Q soot liees par Tune des relations
pq = const., — = const., />*-+- q % = const., op -4- bq = const.;
construire le point ou la droite touche son enveloppe et trouver la nature de I'enveloppe {voir l'exemple precedent).
23. Trouver la plus courte distance de deux courbes (normale commune;.
26. Trouver le plus court cherain d'un point a un autre passant par des courbes donnees. (L'angle d'incidence est egal a Tangle de reflexion.)
27. Trouver le plus court chemin d'une droite a une autre, en passant par une courbe donnee.
28. Trouver sur une courbe donn6e un point tel que la somme des carres de ses distances a des points fixes soit un minimum. (Ge point est le pied de la normale abaiss£e du centre de gravite des points fixes sur la courbe. )
INPINIMENT PBTITS d'ORDRE SUPfiRIEUR. 8f
feTUDE DES QUESTIONS QUI DEPENDENT D'INFINIMENT PET1TS
D'ORDRE SUPfcRIEUR AU PREMIER.
