I. — Longueur d'un arc de courbe
Oq appelle longueur d'un arc de courbe la limite du pe>imetre d'un polygone inscrit dans cet arc et dont les c6t£s de'croissent ind^finiment pendant que leur nombre croit ind£finiment.
Nous ferons, au sujet de cette definition, plusieurs remarques :
i° II est n^cessairededefmir la longueur d'un arc de courbe; en effet, Tegalit^ g£om£trique reposant sur l'id^e de superposition (deux figures sont egales quand elles sont superposables ou quand elles se composent de parties superposables), il ne saurait y avoir d'£galite* possible entre une droite ct une courbe. Une definition seule peut done nous amener a la comparaison d'une droite et d'une courbe et a revaluation, en unites de longueur, d'un arc de courbe. Quoi qu'il en soit, nous avons en nous l'id£e vague de la longueur d'un arc de courbe; la definition que nous avons donn^e ne fait que pretnser cette id£e.
2° Pour qu'elle soit acceptable, il faut prouver que la longueur limite du polygone inscrit existe, et qu'elle ne depend pas de la loi suivant laquelle on fait tendre ses c6t£s vers z£ro.
Rapportons l'arc a deux axes rectangulaires ; soient # , y et X, Y les coordonn£es des extr£mit£s de cet arc de L. — Traite <T Analyse, II. 6
courbe; prenons entre les extremit^s n — 1 points de division, et soient (#,, y % ) % (# 2 , y 2 ), • • ., *>«-i, }'n-\) leurs coordonn^es. En joignant ces points de division, on obtiendra un polygone dont un c6l£ aura pour longueur
ou, pour abr£ger,
la longueur totale du perimetre du polygone sera
OU
Nous supposerons d'abord ~- =y l croissant de y' Q a Y'.
Soit/(,z) Tordonn6e du point correspondanta Tabscisse x\ on aura, en appelant 9 un nombre compris entre o et i ,
et par suite
Or, si, sur l'ordonnee correspondant a l'abscisse 27, on
prend line longueur £gale a yi -r [/'(^i)] 2 * l e l* eu des extre'mite*s des droites ainsi obtenues sera une certaine courbe a) ant pour Equation
et Texpression (2) de s sera Texpression d'une certaine aire, comprise entre la somrae des aires des rectangles de base Lx inscrits et circonscrits a la courbe (3); or les sommes des rectangles inscrits et circonscrits ont meme limite : l'aire com-
INFIN1MENT PETITS D'ORDRB SUPERIEUR. 83
prise entre l'axe des x, les ordonneesjKo* Y et la courbe (3). En effet, la difference de cesdeux sommes est £gale a ^ £ix Av,
c'est-a-dire moindre que\^M A.r, M d£signant le maximum
de ky qui tend vers z£ro, ou que M(X — x) qui tend aussi vers z£ro; l'expression (2) de 5 a done une limite finie aussi.
Le raisonnement que nous venons de faire convient encore au cas ou y serait d^croissant, ou m6me alternalivement croissant et decroissant, pourvu que ces alternatives de croissance et de decroissance ne soient pas en nombre infini.
Cherchons maintenant l'expression de la diflferentielle de la longueur de Tare de courbe.
Soits la longueur d'un arc compt£ a partir d'une origine fixe O prise sur la courbe ; cette longueur, d'apres ce que nous venons de voir, est representee par l'aire de la courbe dont liquation est
Or, si Ton donne a I'abscisse x I'accroissement dx, l'aire de la courbe en question prend un accroissement compris entre deux rectangles ayant pour base dx et pour hauteur r\ et Tj 4- Ar, ; on peut done prendre pour accroissement de l'aire en question r { dx, qui sera aussi sa differentielle ; mais cette expression est aussi celle de la differenlielle de Tare 5; on a
done
ds = 7) dx
ou bien, en remplagantr, par sa valeur,
ds = tfi-r[f(x)P dx ou, ce qui revient au m£me,
ds — v^i -x-y 1 dx
ou bien encore
Done :
Theoreme. — La differentielle ds de la longueur de Varc d'une courbe dont V ordonnee est y et Vabscisse x est donnie par la for mule
ds = /ih- y* dx ;
si Von fait passer dx sous le radical en observant que ydx = dy, on a
ds = \Jdx*-\- dy* ou ds 1 = dx* -h dy*,
formules importantes (ou les coordonne"es sont cens£es reclangulaires).
Corollaire. — On a vu que dx et dy £taient proportionnels aux cosinus des angles que la tangente a la courbe fait
avec les axes; cela resulte d'ailleurs de ce que —- est la tangente de Tangle a que cette droite fait avec I'axe des x\ on
a alors
dx . dy
cosg= J » sina =
fax* -h dy* ^dx i -h dy*
ou bien
dx dy
cosa=-7-> sma=— ,-• as ds
II. — Differentielle de Tare dans divers systemes de coordonnees.
i° En coordonnees rectilignes obliques. — Soit8 Tangle des axes : nous avons trouve en coordonnees rcctangulaires
ds 2 = dx 1 -+- dy 1 ;
done ds est Thypot£nuse d'un triangle rectangle dont dx et dy sont les c6tds; ds est done rigoureusement £gal, dans ce systeme de coordonnees, a la portion de tangente allant du point de contact a Tordonn^e voisine de ce point. Mais, dy differant de by d'une quantity du second ordre, on peut poser, aux termes du second ordre pres,
ds l ^=dx t -\- \y*,
INFINIMENT PETITS d'ORDRB SUPftRIBCR. 85
et dire, a cet ordre d'approximation pr£s, que la differentielle de l'arc, ou m£me que l'accroissement As de cet arc, est l'hypot£nuse d'un triangle rectangle dont Ax et Ay seraient les c6t£s ; cette hypotenuse est pr£cisement lacorde de Tare As : ainsi Tare As et sa corde ne different que par des termes du second ordre au moins (nous verrons plus loin que la difference est du troisi&me ordre); on peut done, dans le calcul de la differentielle de l'arc, remplacer l'arc infiniment petit par sa corde.
II r£sulte de la que, en coordonn£es obliques, la differentielle d'un arc pouvant £tre remplac^e par la corde correspondante et Ay par dy, on a
ds- = dx i -+- dy* -\-idxdy cos 8.
2° En coordonnees polaires. — Si l'on appelle {fig* 20 r, 6 les coordonnees d'un point quelconque M de la courbe, r -+- rfr, -f- rf8 les coordonnees d'un point voisin M' ; la corde MM' joignant ces points, que nous pouvons appeler rfs, sera l'hypotenuse d'un triangle rectangle mixtiligne dont l'un des c6tes M'P sera Ar ou rfr, et dont l'autre cdte sera Tare
Fig. ao.
de cercle MP =r rrf8 decrit de l'origine O comme centre avec r pour rayon; cet arc peut remplacer le cdte rectiligne MQ qui est son sinus. Quant a PQ £gal a
db* r(i — cosaO) = r K
il peut 6tre neglige comme etant du second ordre; or on a dans le triangle MM'Q
MM' = MQ h- QM'
86 CHAP1TRE If.
ou, aux termes d'ordre sup^rieur pres,
ds* = PM' -*- PM ou
3° Coordonnees bipolaires. — En appelant;*, /^les rayons vecteurs et c la distance des poles fixes ou foyers, on a
4 rr' |>r Vr» -4 - dr'* ) — ( r' -■•- r'» - c*)drd r]
formule ou Ton a pose 2/} = c-r/'r r'. II parait difficile de g6ne>aliser cette formule.
