III. — Des divers ordres du contact des courbes planes
Si Ton considere (Jig* 21) deux courbes ayant un point commun M et une secante commune NN' rencontrant les courbes en des points N, N', voisins du point de contact,
Fig. 21.
mais faisant avec les tangentes en M des angles finis, les distances MN, MN' et NN' seront en general de m£me ordre; car les angles du triangle MNN' seront finis, leurs sinus aussi, et par consequent les rapports MN : MN' : NN' aussi.
Mais, si Tangle NMN' est infiniment petit ou, ce qui revient au me 1 me, si les courbes sont tangentes en M, les angles N et N' restent encore finis, MNetMN' sont de m£me ordre. Quant a NN'. il est d'un ordre supe>ieur; en eflet, on a
i.ir
MN JVW NN' sinN' ~~ sinN ~~ sin M
INFINIMENT PETITS D'ORDRB SUPERIEl'R. 87
et, N, N' 6tant finis et M iafiniment petit, il faut que NN' soit d'ordre superieur.
L'ordre de NN' est independant de rorientation de la s(5cante NN'; en effet, en considerant une autre secante, telle que NN", dans le triangle N N'N", le rapport de NN' a NN* est celui des sinus des angles opposes qui, par hypoth&se, restent finis.
Cela pose, nous dirons (et nous serons en droit de dire) que deux courbes, ayant un point commun M, ont en ce point un contact d'ordre n, quand la portion de secante menie dans le voisinage de M interceptee entre les deux courbes sera d'ordre n -f- i . Par rapport aux distances des points d' intersection au point M, on suppose d'ailleurs que la position limite de la secante n f est pas celle dhine tangente en M a Vune des deux courbes.
Cherchons maintenant les conditions du contact d'ordre n de deux courbes passant en M; soientj' et/, les ordonn^cs des deux courbes correspondant a une m£me abscissc x\ au point M on a/=/,. Si Taxe desj' (ce que nous supposerons) n'est pas parall&le a la tangente en M, nous pourrons considerer une secante parall&le a Taxe desj', mende dans le voisinage de M; elle coupera les courbes en des points ayant pour coordonn^es (x -f- Ax, y -f- Ak) et ( x 4- Ax, y K -f- Aki ). La grandeur de cette secante sera Ar — Aj'j, et, pour qu'il y ait contact d'ordre n, il faudra que Hy — &y s soit d'ordre n 4- 1 *, or (t. I er , p. 126)
Ar, = dy x - jz<Pjrx:- - — ] r - n d'jr, .....
done
Ar — Ari = 4r — d y\ -+■ — ( d 'y - d% y\) • •
1 • jl
(d"y — d»jr t )-h...,
88 GHAP1TRE II.
et, pour que ky — ky { soit d'ordre n -f- i , il faut que Ton ait
dy = dy u fry = d*y u . . . , d*y = d»y x ; d'ou Ton conclut le theor£me suivant :
Theoreme I. — Pour que deux courbes aient en un point M un contact d'ordre n, ilfaut et il suffit qu'en un point les differentielles ou les dirwees de leurs ordonnees soient 6 gales j'usqu'a Vordre n inclusivement.
Si Ton prenait pour variable independante, non plus x, raais une autre variable t quelconque, les conditions de contact d'ordre n seraient, en appelant x ely, x K e\.y K les coordonn^es de deux points correspondant a une meme valeur de / pour laquelle il y a contact,
dy dy*
d l y dx — d*xdy d s yi dx x — d* x x dy x
dx* ~" dx* 9
auxquelles on satisferait en posant
dx = dx it d*x= d*x u ..., d n x = d n x u dy = dy u dly = dty u . . . , d n y = d n y x \
ces derni&res conditions sont £videmment suffisantes, mais elles ne sont pas necessaires. Elles expriment que les projections A# — Aa^, et by — Ly K d'une certaine corde commune sont d'ordre n + i .
Ceci d'ailleurs se voit ais£ment sur un exemple particulier :
ainsil'on peut avoir dx = 7.dx s et-^ = -j-±> les deux courbes
auront cependant un contact du premier ordre au moins; mais, si l'on a dx= 2dx if il est bon d'observer que MN et MN', qui sont sensiblement parall&les, sont aussi a peu pres
dans le rapport de i a 2 ; ^^- est alors fini, -^ £tant fini ;
Tangle N est de m£me ordre que M et NN' est a la limite
INPINIMENT PETITS D'ORDRE SUPERIBCR. 89
parallele a la tangenle en M . Ainsi, pour exprimer que deux courbes out un contact cVordre n, il suffira d'^crire que les deriv£es ou les diffldrentielles de leurs ordonnees prises par rapport a leurs abscisses sont les memes jusqu'a l'ordre n inclusivement.
On pourra aussi ecrire, en prenant une variable ind^pendante quelconque, que les diflferentielles des deux coordonne*es sont egales dans les deux courbes jusqu'a Fordre n inclusivement; n des in equations ainsi Rentes elablirontun certain mode de dependance des variables x et x tJ et les n autres equations seront celles du contact.
Pratiquement, pour Ecrire que deux courbes ont un contact d'ordre n 9 on differenliera I'equalion de Tune de ces courbes et Ton supposera que les diflerentielles qui figurent dans le resultat soient tiroes de liquation de l'autre courbe.
Si Ton veut, par exemple, exprimer que l'ellipse
x = a cos t , y = b sin t a un contact du premier ordre avec la droite
y = mi + ft,
on ^crira d'abord
b sin t = ma cos t -t- n,
ce qui ex prime que les deux lignes se rencontrent; ensuite on differentiera et Ton aura
b cos t = — ma sin t.
Les deux lignes auront alors mSme dx et meme dy 7 el par suite elles seront tangentes : cela revient a diflerentier y = mx -H /i, apres avoir remplace x cly par leurs valeurs tirees des equations de 1'ellipse.
Pour exprimer que deux courbes representees par les equations
ont un contact d'ordre /?, il suffira d'6crire que les valeurs
<P CIIAPITRE II.
d e }'*> ft y'r • - ■ > J'"} tirees des Equations (A) et de leurs i
derive es j
dF . dF
Ox J dy
dx* J dxdy ' J dy* J dy ' '
d*F , ^F^ fJ <^F ^ .^F
dx* i " 27 dr^ "^ dy* ^^ dy r ~ °'
sont 6gales, ce qlii revient a 6crire que Ton a
df dF df dF d*f d*F
dx ' dx dy ' dy dx* ' dx*
en d'autres termes, pour que les courbes (A) aient un contact d'ordre n en x, y, il faut qu'en ce point les de>ivces de f et F soient proportionnelles jusqu'a l'ordre n inclusivement. Si Ton rend les Equations (A) homogenes par Tin traduction de la variable z et si Ton fait usage du th^oreme des fonctions homogenes, on voit que Ton pourra ecrire, a la suite des rapports (B), les suivantes
df dF d*f d*F d*f <) 2 F
dz ' dz dz* ' dz* dxdz " dxdz '""'
et les equations (B) pourront 6tre remplac£cs par les suivantes
( )nf ^F d»f d"F
dx n ' dx" ~~ dx"- l dy ' dx n - l 0y '
qui expriment que les derivees d'ordre n des fonctions /et F par rapport aux variables x, y y z sont proportionnelles.
Th£oreme. — Lorsque deux courbes variables
se coupent en /i -t- i points qui viennent se con fond re en un seulM, elles ont alorsen ce point un contact d 9 ordre n.
INFINIMENT PETITS D'ORDRE SUPERIEUR. Ql
En appelant x y y les coordonnees de M, les points d'intersection qui se confondent en M a la limite ont des abscisses quel'on peutrepresenter par#H- h i} x -h A 2 , • • . , x 4- A„ +1 , etalors«p(x-|- A) — ty(x -f- A), difference des deux ordonnies des deux courbes correspondant a Tabscisse x -+- A, s'annule pour A = A i , A 2 , . . . , k n+i ; on peut done ecrire ( t. I er , p. 70 )
<f(x -4-A) — ty(x — h)
tu an//. an // j, N ?'"- | (g-*-H^- -fr»+'(g - '-**) = (A-A 1 )(A-A i )...(A~A^,)t^ i: B( -X ,
H designant une moyenne entre A, A,, . . . , A„ +l . Si Ton fait tendre A ( , A 2 , . . . , A w+1 vers zero, cetle forniule devient
p(ar — A) — ^(^c-r-A)^ A»+i i v - — ' -" * '-\
,v /TV / |,l,3...(W-rlj
cette quantity est evidemment d'ordre n -+- 1, quand on suppose A infiniment petit. Les courbes considerees ont done, au moment ou les points considered se trouvent reunis en M, un contact d'ordrc n en ce point. c. q. f. d.
Les considerations pr6ce*dentes supposent, bien entendu, que la formule de Taylor est applicable aux. coordonnees des courbes considerees; elles tomberont done en defaut en certains points que Ton doit consid^rer comme singuliers, bien qu'ils puissent ne renlrer dans aucun des types signales page 8, et que la singularity ne soit pas apparente a I'oeiL
Lorsque, eu egard au nombre des parametres variables qu'elles contiennent, deux courbes ont en un point quelconque un contact de I 'ordre le plus 6\e\6 possible, on dit qu'elles sont osculatrices.
Par exemple, un cercle pouvant passer par trois points donnas, on pourra Tassujettir a passer par trois points d'unc courbe fixe infiniment voisins; il acquerra alors avec cette courbe un contact du second ordre et sera osculateur.
Parfois, pour des points convenablement choisis d'une courbe fixe, une courbe osculatrice de cette courbe fixe acquiert un contact d'un ordre plus eMeve qu'aux autres
points; dans ce cas, on dit qu'il y a surosculation. Ainsi, par exemple, le cercle osculateur d'une courbe qui passe ordinairement par trois points de cette courbe, confondus en un seul, peut accidentellement contenir un quatrieme point et devenir surosculateur ; c'est ce qui arrive aux sommets d'une ellipse.
