IV. — Droite osculatrice

Proposons-nous, par exemple, de determiner les coefficients de liquation de la droite

(i) y^ax + b,

de telle sorte qu'elle soit osculatrice d'une courbe donn£e. hy de la droite et celui de la courbe devront 6tre les m£mes pour une m£me valeur de x y ainsi que leurs de>ivees ; or, en diflfcrentiant (i), on a

( 2 ) dy — a dx ;

les Equations (i) et (2) devront avoir lieu quand a Yy de la droite on aura subslilue" celui de la courbe. Cette substitution £tant supposed faite, on a

dy , dy

a=z-jf-, b =y — x-j-,

dx ** dx

et liquation de la droite osculalrice devient

dx ' dx

X et Y d£signant alors les coordonnees courantes; c'est liquation de la tangenle, on devait s'y attendre.

Cherchons les points pour lesquels il y a surosculation : pour cela, duT£rentions encore (2), en substituant a Yy de la droite celui de la courbe ; on aura

L'elimination de a, b entre (1), (2) et (3) fera connaitre la

1NFINIXENT PETITS d'ORDRE SCPERIEUR. 93

relation qui doit exister (independamment de liquation de la courbe) entre x et y pour qu'il y ait surosculation ; le resultat de l'elimination est Tequation (3) elle-m€me.

Ainsi, aux points ou la tangente devient surosculatrice, on a d 2 y = o; ces points portent le nom de points d } inflexion.

En un point d'inflexion, la tangente coupe la courbe; ce fait devient Evident, si Ton remarque que la courbe coupant trois fois sa tangente doit €tre mi-partie d'un c6t£ de sa tangente, mi-partie de l'autre cot£. Autrement, prenons la tangente au point d'inflexion pour axe des x et la normale pour axe des^v; liquation de la courbe sera de la forme

ou, par la formule de Maclaurin,

y = a -:- bx -+- ex* -\- dx % -+-

Mais, pour x = o, on a y = o : done a = o ; pour x = o, -j-

est nul aussi : done b = o; de plus, la distance y d'un point de la courbe a la tangente doit elre du troisieme ordre pour qu'il y ait contact du second ordre; done le terme en x 2 doit disparaitre aussi, et Ton a

y = dx*-\- ex^-\-. . .;

y change de signe avec x pour de tres petites valeurs de x : done l'axe des x coupe et touche a la fois la courbe au point d'inflexion.

Dans certaines courbes il existe des points ou la tangente a un contact du troisi&me, du quatrieme, du cinqui£me, etc. ordre ; s'il y a contact du troisieme ordre, la tangente ne coupe plus la courbe, le point d'inflexion est reel, mais il n'est plus apparent; l'equation de la courbe est alors de la forme

Lorsque liquation d'une courbe sepr£sente sous la forme f{x,y)=. o, ou sous la forme homog&ne

94 CHAPITRB II.

il existe une m£thode elegante pour determiner ses points d'inflexion.

Soient, pour abr£ger, /,, / 2 , / 3 les derives -^, -J-> J-; soient, de me^e,/ H ,/i2,/«3,/22,/23,/3 3 les d^rivees ^,

t-^t-9 -r-^r > -rr» T-h-* -rr" ^» es points d inflexion s obtien-

ox ay Ox oz ay* ay az az* l

dront en ecrivant que d 2 y = o; on peut alors differentier l'£qualion (i) deux fois, en n'^crivant pas le terme en dP-y qui est nul; on a ainsi

fidx-^fsdy^o,

A i dx* t- 2/„ dx dy -4-/ M dy* - o,

ce qui donne, en elirainant dx et dy,

(a) /ii/!-i-a/if/i/i^/n/i = o.

Cette formule joinle a (i) d£lerminera les points d'inflexion.

Toulefois il faut observer que la formule (2) peut avoir lieu

sans que la courbe possede pour cela un point d'inflexion en

(.r, y)] c'est ce qui arriverait si Ton avail, par exemple,

f K — o,/ 2 ~ o, ce qui exige que le rapport-^- soit indeler-

mine\ Ainsi l'equation (2), outre les points d'inflexion, determine encore certains points singuliers.

Liquation (2) peut encore s'£crire, comme il est facile de le conslater,

f\\ fa fi (3) fn A* A =o f

el, si Ton observe, en appelant m le degr£ de/, qu'on a

(m — i)/j = /n* -+-/ii7 -f-/is*, (m— i)/ s = /iia?-4-/M^-h/M^,

INFINIMKNT I'BTITS D'ORDRB SUPfiRlEL'R. 0,5

la formule pr£c6dente deviendra, en combinant convenablemenl ses lignes et ses colonnes,

fa fa /n

fll fit fl3 fsi f*\ /s8

Telle est liquation qui, jointe a (i), fera connaitre les points d'inflexion. Settlement il faut observer que Ton a suppose que^ et/ 2 n'£taienl pas nuls a la fois, en sorte que (4) a lieu pour les points qui satisferaient aux Equations

/i = o, /j = o, /=o ou / 3 = o,

c'est-a-dire pour les points singuliers ou -~ se pr^sente sous

la forme -• o

Si / est alg£brique de degre* m, l'equation (4) representee une courbe dite hessiennedef— o, et de degr£ 3 (m — 2), en sorte que le nombre ides points d'inflexion d'unc courbe de degre m est donn£ par la formule

i — 3m(w- - 1 ), qui pourra parfois, com me on le verra, se trouver en defaut.

Remarque I. — II est bon d'observer que, pour £tablir la formule (4), il a fallu supposer que fi,f 2 ,fz nVtaient pas de degre* o; en effet, en remplacant x/ u -\-yf\*-\- z/ i3 par (/n — \)/ t , . . . , puis en divisant par m — 1 pour introduire le terme/ l8 , on suppose m — 1^0. Ainsi, en 6crivantl'6qua-

lion de la parabole sous la forme x — — = o, on pourrait

lui trouver une infinite" de points d'inflexion, liquation (4)

devenant identique pour/= x — — • En r£alit£, il n'y a pas

de point d'inflexion dans cette parabole, ce dont on s'assure en mettant son Equation sous la forme xz — y' 1 =.0; la formule (4) devient alors absurde.

Remarque II. — Si /est homogene entier et du second degre", le hessien est £gal au discriminant, et il ne peut y avoir de point d'inflexion que si ce discriminant est nul, c'est-a-dire si la courbe / = o ser£duita un systeme de deux droites.

Remarque III. — Lorsque tous les points d'une courbe sont des points d'inflexion, cette courbe serMuit a une droite,

ou a un systeme de droites. Et, en effet, si Ton suppose -r^

nul, quel que soit j?, ■—- reste constant et y est de la forme ex -h c', c et d designant deux constantes.