V. — Du cercle osculateur
Le cercle pouvanl etre assujelti a passer par trois points, Je cercle osculateur d'une courbe aura en g£n£ral un contact du second ordre avec cette courbe ; nous allons chercher a en determiner les elements.
Soit
l'cquation du cercle cherche, que nous supposons osculateur enx,y; si Ton difference cette Equation en supposant dy, d 2 y remplac^s par le dy et le d 2 y de la courbe, on aura exprime* qu'il y a contact du second ordre, et iljviendra
( dx*+dy*-t-(y—$)d*y = o\
d'ou Ton tire
o dx* -4- dy*
dy dx* — dy* dx d*y y
et liquation ( 1 ) donnera
( dx*-^dy* \* dx*-^ dy*
\ fry ) dx~ y
INFINIMENT PETITS D'ORDRE SUPfiftlEUR. 97
Oil
R = (dx* + d y *y = (iH-y»)^
d % ydx y*
en posant -^ =y*
En des points particuliers le cercle osculateur pourra possider avec la courbe un contact du troisieme ordre; en ces points appeles sommets, on a, outre les Equations (i) et (2),
3 dy d*y -t- ( y — p ) <&y = o .
L'£limination dey — (3 entre cette formule et la derniere Equation (2) donne
dx*-\-dy* 3dyd*y
ou
en posant
i<ty '— **/ ,„ __ df
^ ~~ dx 9 * ~~ dx 9 y ~ dx
Nous allons maintenant £tudier diverses propriety du cercle osculateur. Un cercle est d'autant plus courbi que son rayon est plus petit, et il est naturel de dire que la cour-
bure d'un cercle est mesureeparl'inverse ^ de son rayon. De
tous les cercles, celui qui se rapproche le plus d'une courbe est son cercle osculateur, et la courbure de la courbe sera naturellement mesur£e par Tinverse du rayon du cercle osculateur.
On peut justifier d'une autre maniere cette fac,on de mesurer la courbure : soit (Jig. 22) AB un arc de cercle; menons les rayons OA, OB et les tangentes AC, BC; Tangle O ou son egal BCD est ce que nous appellerons Tangle de contingence ; le rapport de cet angle k Tare AB est Tinverse du rayon ou la courbure de AB.
Si Ton appelle e Tangle de contingence d'une courbe quel- L. — Traits d' Analyse, II. 7
98 CHAPITRB II.
conque, c'est-a-dire Tangle de deux tangentes ou de deux normales infiniment voisines menees par les points M et M'
don l le premier soit fixe, et ds Tare MM', le rapport -j- pourra
s'appeler par analogie la courbure de la courbe en M. Nous
Fig. 22.
allons voir qiTelle est egale a Tinverse du rayon du cercle osculateur.
Nous observerons a cet effet que Tangle de contingence est la difference des angles que la tangente en x> y et au point voisin x -+- dx, y -h dy fait avec un axe fixe, Taxe des x par exemple ; en appelant y Tangle que la tangente en x,y fait avec Taxe des x, on a
On a done
1 dv
z- dv, tanL";-v- -; -
• ' e 4 J dx
. d y d* y dx
e — d arc tan*;-;- =
r dr dx* -1- dy*
et, par suite,
e d- v dr Y
ds 3 - 3 - '
(dx*-t-dy*)* (it-/ 2 ) 2
la valeur de ~ est done Lien egale a Tinverse du rayon du
cercle osculaleur, que Ton appelle pour cette raison cercle de courbure } el son rayon, rayon de courbure.
1NFIN1MENT PET1TS D'ORDRK SUPfiRIBUR. 99
