VI. — Application a quelques examples

Lorsque l'on veut calculcr le rayon de courbure d'une courbe, on peut faire usage de la formule

mais il vaut mieux, quand^ n'est pas exprim6 en fonction de x, faire usage de la formule suivante, que l'on obtient en transformant la precede nte de telle sorte que la variable iodependante, au lieu d'etre x, soit tout a fait quelconque; on a alors, en observant que

, dy „ d 1 y dx — d 1 x dy

y ~ di' y-— 5^5 -'

l'expression suivante de R :

' dty dx — d*x dy

On devra prendre le second membre qui contient un radical, avec un signe tel que R soit positif. Toutefois on peut donner un signe a R, celui de y 3 ' ou de d 2 ydx — d 2 xdy, suivant que Ton fera usage de la formule (i) ou (2). Alors on pourra dire que le rayon de courbure ou la courbure est positif ou negatif en un point, suivant que Tare de courbe en ce point tournera ou ne tournera pas son centre de courbure vers les j' positifs. II y a evidemment la une convention arbitraire, mais qui pourra avoir son utility dans certains cas. Nous allons maintenant appliquer les formules (1), (2) a quelques exemples.

Parabole. — Liquation de la parabole est

IOO CHAPITRE II.

on a alors

par suite, liquation (i) donne

P* La normale k la m&me courbe est donn£e par la formule

Si Ton changeait^en^ -+■ — , liquation (a) deviendrait

y — 7TZ > ip

l'expression de R ne changerait pas, mais celle de N devien

drait — — > et 1 on aurait

Ainsi, dans la parabole, le rayon de courbure est double de la normale compt^e du point de contact jusqu'a la directrice.

Ellipse et hyperbole. — Les Equations

x — a coses, j' = 6sincp

repr^sentent une ellipse, et les Equations

une hyperbole. Si, en prenant <p pour variable ind£pendante, on applique la formule (2), on trouve pour Pellipse

__ (a* sin*<p -4- ft'cos*^) 1 __ (a* sin*<p -+- 6 s cos* f)'

~~ a6(sin l <p -t- cos*<p) a6 '

et, en appelant N la normale,

= - (a*sin*©-f- o*cos* ©)* ;

on en conclut, par lMlimination de <p, ou, en appelant/) le demi-parametre,

On a une formule analogue pour l'hyperbole.

Cyclo'ide. — ConsideVons encore la cyclo'ide donnee par les equations suivantes, ou t d^signe un parametre variable

et a une constante,

x = a(* — sin*),

y = a(l — COS*).

Si on lui applique la formule (2), on a

D (2 — 2 cos 0* I / ;

R = -r- a= 1* avi — cos *.

1 — cos*

La normal e k la cyclo'ide est donnee par la formule

N = a /a — 1 cos * = 2* a y/i — cos* ;

d'ou Ton conclut

Ainsi, dans la cyclo'ide, le rayon de courbure est double de la normale.