VII. — Proprietes generates concernant la courbure
II est souvent commode de prendre Tare pour variable independante, quand on Itudie les propri£t£s d'une courbe;
dans ce cas, l'expression de la courbure prend une forme £l£ gante. Reprenons la formule (2) du paragraphe precedent
(dx*-*-dy*j %
d*y dx — d i x dy et 6crivons-la ainsi
1 (d x y dx — d t xdy) t fi» = (dx^-^dy^y '
si Ton appelle s Tare de courbe, on a
(1) dx*-~ dy*^-ds*;
done
, x 1 (d^y dx — d i xdy) t
v ; K« ds*
Or on a identiquement
(d*y dx—d*x dy)* = (d* x* ~ d*y*) (dx* -^dy*) — (dxd*x-*-dy d*y ) 8 ;
si Ton diff<6rentie la formule (1) par rapport k s* il vient
drd l x -:- dy d 1 y = o.
La formule pr^c^dente devient alors, en ayant egard a (j),
(d*y dx — d*xdy)* — (d*x* -+- d*y*)ds*, ct (2) devienl
les coordonn^es a, [3 du centre de courbure peuvent se me tire sous la forme
^ dy a i> dx
II est souvent avantageux de faire entrer dans l'ltude des
d* x d* v courbes le rayon de courbure et Tare ; les d^rivees -^ > -^
IXFIIUMENT PETITS D'ORDRE SUPERIEUR. Io3
peuvent s'exprimer au moyen de R : il suffit pour cela de combiner liquation (3) avec
f __ d l x dx d*y dy
{ } °~ ~dst ~ds "*" ds* Ts y
obtenue en difftrentiant
On trouve alors
> fi d 1 x i dy d*y __ i dx
ou, en appelant cp Tangle que la tangente fait avec l'axe des x,
-j-T- = -=r sin©, -/- = — ~ cos©.
d$ % R * ds* R •
Nous allons utiliser ces formules pour (kablir deux th^oremes importants :
Theoreme I. — La distance d J un point d'une courbe a la tangente au point infiniment voisin est igale, aux termes du troisieme ordre prcs, au car re de Varc divise par le double du rayon de courbure.
En effet, la tangente en (x, y) a pour Equation
la distance/? du point x -f- Ax, y -+- by a cette tangente est donn£e par la formule
dxSy — dylx dxby — Lxdy
P ~"~~ y/dxt -f- dy* ~~ ~~ ds '
or
A7 == dy -h \ d*y -4- } d*y -+- . . . , Ax = dx -h \ d l x -T- J- d z x -+-...,
fo4 CBAPITRE II.
et il vient, en neglige ant les termes du troisi&me ordre, •
^ \(dxd*y — d*ydx) ^ L d*ydx — d l xdy ^ t
P ds "~ * ds*
ou enfin
ds * • ^
F aR
Theoreme II. — La difference entre un arc infiniment petit et sa corde est du troisidme ordre; elle a pour expres-
ds* sion — ^-, 24 R*
En effet, soient x, y les coordonn^es d'une extr£mit£ d'un arc infiniment petit ds] les coordonn£es de son autre extremity seront x -f- &x,y -4- Ay ou, en prenant Tare pour variable ind£pendante,
x-\-dx-*-\d*x-\- £cPa?-4-.. . et y ■+- dy -+- J ; d*y -+- J- d*y -h . . . ;
la corde c du petit arc ds sera alors donn£e par la formule
ou
c* = (dx ■+- I rf** -f- J rf»a?)« + (^ + }rf»;+ l.***?) 1 ,
en n^gligeant les termes du quatri&me ordre.
En effectuant les calculs indiques, il vient
I c* = dx* 4- dy 1 ■+- ( dx d*x ■+• <iy c? 2 ^)
or on a
dx* -+- d/^ s = ds*
el, en diflerentiant, Tare etant variable ind£pendante, (7) dxd l x-\- dyd*y = 0;
en diff&rentiant encore, on a
d*x* h- cPp* -+- ch? *£*# -+- o^ d*y = o
ou, en vertu de (3),
ds*
(8) — (dxd*x-+-dyd 3 y) = d*x*-ird*y* = -—
Liquation (6) donne, en vertu de (7) et (8),
OU
, / r~di*
— dsi/ I 7TT •
Si Ton developpe le radical par la formule du bin6me, on a
ds ( i ~i^) ;
en negligeant les termes du quatrieme ordre, on en conclut
, k ds*
ds - c = nw
formule que nous voulions (kablir.
