VIII. — Developpees des courbes planes

Reprenons les Equations qui ont servi a determiner le centre de courbure d'une courbe

(a) ( x —z)dx-+-(y— ?)dy = o,

(3) dx* +- dy* -4- (7 - ? ) d*y = o,

et qui s'obtiennent en differentiant deux fois la formule (1). Interpretons successivement chacune dc ces Equations.

i° Liquation (1), abstraction faite de son origine, exprime que R est la distance du point (a, (3) au point (x, y) variable de la courbe; liquation (2), oblenue en differentiant (1), exprime que le point (x, y) est choisi de telle sorte que rfR soil nul, c'est-a-dire de telle sorte que R soit minimum ou

maximum; mais liquation (3) exprime que rf 2 R = o, c'esta-dire que le point (a, J3) esl dans une situation telle qu'il n'y a ni maximum ni minimum.

Or (2) est l'equation de la normale en x^y quand on considere a et J3 comme coordonnees courantes; ainsi la plus courte ou la plus grande distance rectiligne d'un point a une courbe se compte, en general, sur la normale passant par ce point, excepte* quand le point donne* est le centre de courbure.

2 Liquation (2) repr^sente, comme nous l'avons dit, la normale a la courbe en x, y. Designons, pour abreger, par N -- o cette Equation; Tequation de la normale voisine sera N -+- c/iN = o, et le point de rencontre des deux normales infiniment voisines sera donn6 par les equations simullanees

N — o, N -i- dS — o ou N — o, dS — o.

Or (3) est pre'cisement rfN = o; les equations (2) et (3) font done connaitre le point (a, [3) d'intersection de deux normales infiniment voisines. Ce point est pre'cisement le centre dc courbure.

Ainsi deux normales infiniment voisines se coupent au centre de courbure.

3° Le lieu des intersections successives de deux normales voisines est l'enveloppe de ccs normales; done Vcnveloppe des normales d'une courbe est le lieu des centres de courbure de cette courbe; on lui a donne" le nom de de'veloppee de la courbe. Si la courbe A est la developpee de la courbe B, on dit que B est la developpantc de A.

4° Diflerentions les formules (1), (2), en observant que a, p, R sont fonctions de x\ nous aurons

(x - - %)(dx - - d%) -,- (j — $)(dy — d$) = IWR, (<£r — dz)dx-i-(dy — d$)dy .- (y — $)d*y = o.

En vertu de (2) et (3) ces formules se simplifient etdonnent

(5) dxcLz -T- dfidy = o;

la seconde de ces Equations montre que la direction dx, dfi de la tangente a la d6veloppee est perpendiculaire a la direction dx, dy de la tangente a la courbe proposed ; done la normale a la courbe proposed touche la d£velopp6e, ce que Ton savait ddja.

Or (2) donne

et (5) donne

done

dy dx

dx rfp.

dy dx*