IV. — Equations diverses de la tangente
Liquation de la tangente a une courbe en un point donne" de la courbe est facile a ecrire, quand Pordonnee de ce point est connue en fonction de l'abscisse, puisqurTon connaft son coefficient angulai re. On peut d'ailleurs la trouver directement comme il suit. Soient x, y les coordonnees du point de contact M ; x -+- A#, y -+- by ceux d'un point voisin M' pris sur la courbe ; en appelant X et Y les coordonnees courantes, liquation de la s£cante MM 7 sera
Y-, = (X-*)g, et, quand M' se confond avec M,
e'est liquation de la tangente. Quand y et x sont donn£s en fonction d'un parametre t, on d£signe par^ 7 et x* les deriv6es de x et y relatives a *, et Ton a
dy y d t y #
dx x' dt x
la formule (i) devient alors
(Y-y)x'-(X-x)y' = o, ou encore
(a) ( Y —y)dx - (X - x) dy = o.
Quand x el y sont lies entre eux. par une relation de la forme
(3) /(a? >y ) = 0| on a
cte ft
f\ et/ a d6signant, pourabreger, -p» -~; liquation (i) devient alors, en remplagant -^ par cette valeur,
Nous indiquerons encore un autre moyen de parvenir & cette Equation : la formule (3) differentiae donne
ft dx -h/j dy = o,
et fait connaitre -r-i ou des quantit£s proportionnelles a dx y
dy; si done on porte les quantity / 2 et — f K dans (2) k la place de dx et dy, on trouve la formule (4). Cette mAthode a l'avantage de faire connaitre les tangentes en M quand la courbe en a plusieurs ou quand f t et/ 2 sont nuls, ce qui revient au mime, comme on le verra plus tard.
Si en effet/i et/ 2 £taient nuls. en differentiant deux fois (3), on aurait
/, d*x-*-f x d*y -+-/ u dx* -t- if xl dxdy -+-f tl dy* — o,
/ii,/u,/.a d^signantg, ^, ^
ou
fndx* + a/n dxdy -+-/„ dy* = o.
GfiOMfiTRIE PLANE. 7
En £liminant dx, dy au moyen de (2), on a liquation des tangentes
/n(X-*)i-*-a/ 11 (X-*)(Y- tr )-4-/ 11 (Y- i 7r)« = o.
Enfin liquation de la tangente est encore susceptible d'une forme 6l£gante dont nous aurons a faire souvent usage, et que nous allons faire connaitre.
Si Ton rend liquation (3) homogene par l'introduction de la variable z que Ton prendra £gale a 1 , apres les differentiations, on aura
(5) m/ = x/ l -hy/ t -hzf Zl
f % d£signant la d£riv£e -4- et m le degre" de rhomog6ne4te* ; or liquation (4) peut s'6crire
et, en observant que pour un point (#, y) pris sur la courbe le premier membre de (5) est nul, on a
et par suite (6) devient, en observant que Z = z = 1 ,
X/i -«- Y/ t + Z/, = o, Equation tres simple et tres sym£trique.
