X--3. y—$ (x—z)d*+(y-$)dP / {x-np-r-jy—P
dx d$ rfa*-f-rf3 l ~V dx*-i-dV
c'esUa-dire, en vertu de (i) et (4), si Tond^signe par do- Tare de d£velopp£e,
. . = -=- ou dR = dz.
On d£duit de la
R — Rq = <j — <Jq,
R designant la valeur de R pour c — cr . Cette formule montre que la portion d'arc de developp&e <r — <r , comprise entre les deux rayons de courbure R et R , est egale a leur difference.
C'est cette propri^te* qui a fait donner a la courbe que nous etudions le nom de developpee. Supposons que Ton attache un iil en un point de la d£velopp£e el que cc £11 soit d'abord enroute sur un arc de cette d6velopp£e; si Ton d£roule le fil, il restera tangent a la d^veloppe'e, et son extr^mite libre decrira la d£veloppante.
Nous allons maintenant faire des applications des theories precedentes a la recherche de quelques developpees. Deux raoyens, qui rentrent au fond Tun dans Tautre, vont s'offrir a nous :
i° En consid£rant la developp^e comme 1'enveloppe des normales, on ecrira liquation de la normale a la courbe pro-
pos^e en fonction d'un seul parametre, si faire se peut, et Ton en cherchera I'enveloppe par le procdde* connu. 2° On fera usage des formules
( dx* •+- dy* -h ( y — })d*y — o,
qui lient les coordonnees d'un point (#, y) de la courbe a un point (a, P)de ladevelopp ; e; on elimineraensuite.r,j', dx,dy d 2 y entre ces Equations et celles de la courbe differentiae deux fois : la r£sultante en a, (3 sera Tequation de la developpee.
Remarque. — Si Ton se donne une relation entre a et j$ et si, entre cette relation <f>(a, [3) — o et (6), on elimine a et P, on aura une relation entre .r, y. dx, dy 1 d 2 y qui sera l'equation differ entielle de la developpante de la courbe <p(a,P) = o.
On peut aussi trouver la developpante en cherchant le lieu des points obtenus en portant sur chaque tangente une longueur egalc a Tare compte a partir d'un point fixe.
Les courbes algebriques ont les monies foyers que leurs developpdes; cela tient a ce qu'un foyer d'une courbe est un point d'ou Ton peut mener deux tangentes isotropes a la courbe.
Or deux tangentes isotropes sont aussi deux normales isotropes; carles droitcs isotropes son tperpendiculaires surelles-
memes, leurs coefficients angulaires etant y/ — i et — yj — i . Les normales isotropes d'une courbe sont des tangentes isotropes de la developpee, et par suite les foyers de la courbe sont des foyers de la developpee.
Reciproquement, les foyers de la developpee sont des foyers de la courbe; car, par les foyers de la developpee, on peul mener deux tangentes isotropes a cette developpee, qui sont aussi des normales isotropes a la courbe proposes ou des tangentes isotropes a cette courbe.
Nous reviendrons sur cette question des foyers des courbes et de leurs developpees pour expliquer un paradoxe ; il semble,
INFINIMENT PBTITS D'ORDBK SUPfiMEUR. IO9
en effet, au premier abord, que le nombre des foyers d'une courbe soil une fonction bien d£termin£e de son degre comme sa classe, etque par suite le degr£ d'une courbe soit le m£me que celui de sa d^veloppee. II n'en est rien, et nous allons bientdt le voir sur de nombreux exemples, et, je le r£pete, nous expliquerons plus tard pourquoi.
