IX. — Applications des theories precedentes
Developpee de V ellipse. — Nous prendrons les Equations de l'ellipse sous la forme
a? = acos<p, ^ = 6sin<p;
liquation de la normale sera
(1) by cosy — ax sin y -4-c* sin© coscp = o.
Pour trouver la d6velopp6e de l'ellipse, il suffit de chercher l'enveloppe de cette normale; pour cela, nous difKrentierons son Equation par rapport k <p, ce qui donnera
(2) by simp -~ ax cosy — c l (cos*<p — sin*cp) = o;
puis, en Ire cette equation et (i), nous £liminerons <p. Pour
faire cette elimination, on multiplie(i)par sincp, (2) par cos cp;
on re tranche et Ton a
ax = — C* sin 8 cp.
On trouve d'une fagon analogue
by = c* cos 3 <p.
Ajoutant ces Equations, apr£s les avoir £lev£es k la puissance f , on a
(ax) 3 -^-(by) 6 = c* :
c'est liquation de la developpee de l'ellipse. Ecrite sous forme rationnelle, cette Equation devient
elle est done du sixi&me degr6.
HO CHAPITRB II.
La discussion de cette courbe est facile; elle poss&de quatre rebroussements sur les axes.
Si Ton construit une courbe semblable a la developpee de Tellipse, elle aura pour Equation
et, si Ton fait converger b vers a, cette Equation devient
c'esl l'enveloppe d'une droite de longueur constante qui glisse entre deux droites rectangulaires. On pourrait appeler cette courbe la developpee du cercle; nous la rencontrerons bientut dans une autre theorie.
Developpie de l y hyperbole. — Si Ton repr^sente Thyperbole par les deux Equations
un calcul analogue a eclui qui a 6le fait pour l'ellipse nous donne Tequation de la developpee de l'hyperbole
(ax)' i — (by)*= c*.
Cette courbe a deux rebroussements sur l'axe des x et quatre branches infmies.
La developpee de l'hyperbole £quilat&re est
ou
Developpee de la parabole. — On pourrait trouver la developpee de la parabole en cherchant l'enveloppe de sa normale, dont on prendrait liquation en fonction du coefficient
KNFINIMENT PETITS D'ORDRE SUPERIEUR. Ill
angulaire, parexemple. Mais, pour varicr les m£thodes, nous la chercherons en observant que liquation d'une normale a la parabole
y* — ipx
est
(i) y = mx — pm — p — •
Par un point donne* (#,JK)> on peut done en faire passer trois, dont deux peuvent &tre imaginaires ou confondues. Or le lieu des points d'ou Ton peut mener deux normales confondues est ^videmment la dtSveloppee; on aura done, en general, la developp^e d'une courbe en exprimant que l'equation de la normale en fonction d'un para metre variable a deux racines <*gales. La condition pour que (i) ait deux racines £gales est
ou, par un changement de coordonnees tres simple,
cette courbe est la parabole s'emi-cubiqu
Developpee de la cyclo'ide* — Les Equations de la cycloi'de
sont
x — a(u — sinw),
y = a{ i — coSu);
celle de la normale au point a (it — sin*/), a(\ — cos u) est
(x — au -- a sinw)(i - cost/) -f- (y — a -*- acosa)sinw = o,
ou
x(i — cos u)-hy sin a = au(i — cos a),
el, en different! ant,
x sin u -\-ycos u = a(i — cos u) -+- au sin u.
112 CHAP1TRB II.
Si Tod tire de ces Equations x ety en fonction de a, on a
x = a(u -+• sinu), y = — a(i — cosu);
ce sont les Equations de la d£velopp£e.
Si Ton transporte l'origine au point dont les ooordonn£es sont x = an, y = — 2 a, on trouve
x = — aiz -h au -{- a sin a, y = a-*- a cosu f
et, en faisant u = it -f- u f , on a finalement
x — a(u' — sin a'), y = a(i — cosw');
ce sont les Equations d'une cycloide £gale a la premiere. Ainsi la d£velopp£e de la cycloide est une autre cycloide £gale et semblablement plac£e ; mais le sommet de la seconde cycloide coincide avec Tun des points de rebroussement de la premiere.
Nous laissons au lecteur le soin de verifier cette proposition par la Geom6trie, ce qui est tr&s facile en observant que le rayon de courbure est double de la normale.
Developpante du cercle. — La recherche des d£veloppantes est du ressort du Galcul integral; mais la developpante du cercle est une courbe remarquable, qu'il est bon de connaitre : aussi en chercherons-nous liquation.
Pour trouver 1'equation de la developpante du cercle, il suffit de chercher le lieu des points obtenus en portant sur les tangentes au cercle des longueurs 6gales k l'arc correspondant compt£ k partir d'un point fixe. Nous ferons passer l'axe des x par ce point fixe et l'origine des coordonn£es sera au centre du cercle. En appelant Rle rayon, o»R Pare compte k partir du point fixe, les coordonn^es du point correspondant de la developpante seront donn^es par les formules
x = Rcosto -+- wR sinw, x=Rsinw — coRcosu>.
INFINIMBNT PET1TS D'ORDRE SUPfiRIEUR. I l3
I.A forme de la courbe est celle de deux spirales se rencontrant sur le cercle en form ant un rebroussement.
La podaire de la developpante du cercle, par rapport an centre, a son rayon vecteur egal a Tare Ru>; e'est done une spirale d'Archimede.
Si l'on ajoute les Equations (i), apres les avoir elevees au carr£, on a
X l +yi = ftt -j- a,i R* ;
d'ou Ton conclut, en posant x 2 -+-y 2 = r 2 ,
R II en resulte l'equation suivante, en coordonnees polaires :
a o s/ r *— K * /-i IH • /r'- — R»
rcosO = R cos 1 — 5 h yr* — R 1 sin -
X. — Rayon de courbure en coordonnees obliques. Si, dans la formule
^ * d x y dx — d*xdy'
qui donne l'expressiondu rayon de courbure en coordonnees reclangulaires, on pose
(a) x — -a/H^'cosO, j'^^'sinO,
x* ety* seront les coordonnees du point (x,y) dans un systeme de coordonnees obliques, dans lequel le nouvel axe des x comcidera avec Tancien, et dans lequel le nouvel axe des y fera l'angle 8 avec l'axe des x. Des formules (2) on tire
dx = dx' •+• dy cos 8, dy = dp' sin 8,
d*x = d*x f -\-d*y cosO , d*y = a? 4 /' sin 8;
si Ton fait cl 2 x f =o et si Ton porte ces valeurs dans (1), on a
__ (<&/» -4- €^ -+- idx'dy cos6)»
"" c^'dar'sinO
ou, en supprimant les accents,
p __ (dx*-\- dy*-±- idx dy cos 8)* __ (i -\-y'--\- iy* cos 8)*
Nous ferons une application de cette formule a l'ellipse rapportee a deux diam&tres conjugu£s. Son Equation est
(4) a*j*-}-& 2 ar s = a*6*.
Cherchons le rayon de courbure a rextr£mitd du diametre 6; ilfaudra fairer = o, y = b,y f = o: on a, en differentiant(4)<
a>yy r -f- b 1 x = o,
o^yy"-^- a*y r * -+- b* = o ;
en faisant x = o, y =r b, y' = o, on a
La formule (3) donne alors
ou
6 sin 6
formule tr&s simple et facile a construire. Pour les sommets, elle conduit a la construction suivante, parfois utile : soienl (Jig. 23) STUV le rectangle circonscrit; A, A', B, B' les
Fig. 2 3.
sommets de Tellipse. Joindre A'B et du point S mener une perpendiculaire a A'B, la prolonger jusqu'a l'axe BB ; ; O est le
centre de courbure pour le sommet B.
La parabole, pour laquelle on a y = — >y' = -> v"-- - >
INFINIMEXT PETITS d'ORDRE SUPERIEUR. Il5
donne au point ou elle rencontre son diametre qui passe par Forigine, y = o, J J = o et
sinO ce qui conduit a une construction tres simple.
