XI. — Rayon de courbure en coordonnees homogenes

Liquation g£ne>ale des cercles tangents k une courbe donnee de degr^ m

au point (r, y, 5), est

f\ ? /a» /s d^signant, comme plus haut, les dririve'es de /, el \ un coefficient ind6termine\ En eflet, liquation (2) est celled'un cercle, car Z — z= o, puisqueZ =z= 1. En outre, ce cercle passe par les intersections de la tangente

avec le cercle de rayon nul (X — x) 2 -+- ( Y — y)- = o ; ainsi le cercle en question a deux points en x 7 y y z 9 confondus avec la tangente a la courbe.

Exprimons qu'il est a une distance du troisieme ordre de la courbe; la puissance du point x-\- A#, y + by, z -+- As devra^lre du troisieme ordre, 011, si Ton veut, laformule (2) sera verified, aux termes du troisieme ordre pres, en remplacant X par x -f- A# -+- . . . ou par x + dx -4- £ d*x + . . . ; on aura, en n'e'crivant pas les termes nuls 2/< dx,

dx* -f- dy*+- dz* = \\(fid*x +/, d*y ^-f z d^z)\

d'ou

* o.ds %

~~ fid*x-±-f % d*y->rf z d*z'

ou simplement

CHAP1TRB II,

s i(dx*-*- dy*)

en observant que rfs = o. Or on a

fidx-^/tdy-o, fndx* -h ifitdxdy-+-fady* -+-/, dtx-¥f % dty = o;

tirant de lkf t d 2 x -*rf%d*y, la formule (3) donne

i{dx* -4- dy*)

ou, observant que -£- = — ~

<*K ft

fnf\ — *f\\f\f\ +/it/J

Le d£nominateur peut s^crire

/n /ii /i /si /it /i /. /i o

ou, en faisant usage des relations qui existent entre /et ses derives (voir p. g4),

/n /it /is j

c^n=Tj"' ^ /m ^ ■•

fix JZt fit I

Appelons H celte expression, et nous aurons, au lieu de (4), liquation (2) devient alors

Les coordonn£es du centre sont donn£es par les formules

et l'on a

fi ~ A ~ h

Si l'on se rappelle que ^' » ^* sont les cosinus des

angles que la norm ale fait avec les axes, on en conclura cette valeur du rayon de courbure

R (f\+fb*

On voit qu'il est infini pour H = o, c'est-a-dire en un point d'inflexion, ce qui £tait Evident a priori; en sorte que cette re marque pourrait constituer une seconde maniere de trouver les points d'inflexion.

Si l'on fait /J -\-f\ = A 2 , on pourra £crire ainsi liquation du cercle osculateur :

On serait arrive a ce r^sultat en appliquant aux formules donnees plus haut les regies de la differentiation des fonctions impli cites.