XII. — Rayon de courbure en coordonnees polaires
Pour trouver l'expression du rayon de courbure R d'une courbe en coordonnees polaires, on peut partir de la formule
,,. R {dx*+dy*f*
K) d*ydx — d*xdy'
I l8 CBAPITRE II.
qui donne le rayon de courbure en coordonnees rectangu*laires, et effectuer le changement de variables donn6 par les formules de transformation de coordonnees, qui servent a passer des coordonnees rectilignes t, y aux coordonnees polaires r, 0, a savoir
(2) a? = rcos6, j' = rsin8.
Pour effectuer les calculs d'une facon elegante, on peut multiplier la seconde formule (2) par ± y/ — 1 et Tajouter a la premiere; on a ainsi les formules tfquivalentes
x -\-y /— 1 = re^' l t x —y yj — 1 = rc~^ s I et, en diflferentiant,
I dx-k-dy /— 1 = e® v -i (dr -+- \ f ~\rdft),
( dx—dy v/— 1 = c-^^i (rfr— /— 1 rdb \.
Si l'on multiplie ces Equations membre a membre, on trouve
(4 ) dx* ■+• dy* — dr* -4- r* d&*.
En differentiant les Equations (3) et en prenant rf 2 8 = o, on a
Idtx -+- d>y \ l ~\ = e 0v ^ (d*r — % d~i drdti — rcffl* ), J \
d*x — d*y \T~^i = e-Qv-i (d*r — 1 yj— 1 drdQ — rtf8« ).
Si l'on multiplie la premiere equation (5) par la seconde equation (3), et la seconde equation (5) par la premiere Equation (3), si l'on retranche ensuite les resultats apres avoir
divis6 par 2 y' — 1, il vient
d*ydx — d*xdy = — (rd*rdb — arf/*<iO — r*rfO s ),
et par suite la formule (1) devient, en changeant le signe du second membre, ce qui n'a pas d'inconvenient, puisque ce second membre comporte le signe ± ,
rd*rdb — arfr'40 — r*</0*
INFINIMENT PETITS d'ORDRB SUPERIEUR. 119
Les points (Tin flexion s'obtiennent en supposant R = oo ; ils sont done donnas en coordonne"es polaires par la formule
rd*rdb — *dr*db — r*d0 3 = o.
Applications. — La spirale logarithmique a pour equation
k de*signant une constante; on en conclut l'expression suivante du rayon de courbure
le rayon de courbure est done proportionnel k e*°, e'est-^-dire au rayon vecleur r.
ml
Soient (Jig. 24) M un point de la spirale, O lWigine, C
Fig. 24.
le centre de courbure ; le triangle MOC reste semblable a luiralme quand le point M se deplace, car la normale MC a la spirale fait un angle constant avec le rayon vecteur et MC reste proportionnelle a OM. L'angle OCM reste constant, et le rayon vecteur OC de la d6velopp£e fait un angle constant avec la tangente a cette courbe, qui par suite est aussi une spirale logarithmique.
La spirale d'Archimede a pour Equation
son rayon de courbure sera donne" par liquation
Cette formule peut s'£crire, en appelant N la normale,
r* — ik*'
Remarque. — On peul trouver directement le rayon dc courbure en coordonn£es polaires, en observant que Tangle de conlingence de est £gal & rf8 -+- dV, V d^signant Tangle que la tangente fait avec le rayon vecteur. Ainsi
i <tt^-dV R ~~ ds
et, comme tang V = —r- >
i rf8 d rrfO
s = ai + ^ arctane ^-'
formule identique a (2) quand on effectue les calculs.
