XIII. — Rayon de courbure en coordonnees bipolaires

Soient (fig. 25) MM' un arc de courbe ; MF et MF 7 les rayons vecteurs de M issus des foyers fixes F et F', M'F et M'F' les

Fig. a5.

rayons vecteurs du point voisin. Soient, de plus, MF= w, MF 7 = u f , MM' = ds, FMO = a Tangle que la normale fait avec MF, FMO = a 7 Tangle que la normale fait avec MF'.

IlfFIlflMENT PETITS d'oRDRE SUPfiRlEUR. 121

On a, en comparant la somme des angles des triangles IMF, IOM',

= F — doL, = F'-u<*x'

on, en observant que Fare MP d^crit de F com me centre a pour valeurs Fa et ds cost.,

^ ds cosol , ds cos*' . .

O = dz, O = 1- t/a'.

Soit R le rayon de courbure; on tire de la

done

cos a

d% ds*

i cos a' R u'

( i . cosa N

cosa'^

e'est de cette formule que Ton deduira la construction du rayon de courbure.

Ellipse. — Dans l'ellipsc a = a', on a done

i cos a i cos a

ou

— = cosa

on peut encore £crire

2 cos a .

ou, en appelant a a le plus grand axe,

I a cosa R = uu'

On peut encore transformer cette expression, quoiqu'elle donne une construction fort simple : on a, en appelant 2 c la distance focale et ib le petit axe,

4c J = « 2 -f- u'* — 1UUCOS11, 4c* = (u-h u')* — 4 uu r cos* a,

d'ou

cos* a = — , j uu = — — :

uu cos* a

done

a cos 2 a

Ovales de Descartes. — Les ovales de Descartes ont pour

Equation

u -7- au' — b ;

on a, comme Ton sait (p. 3o),

sing

ail

du' ~~

since' ~"

sin a

= a sins',

d'ou

cosacfa = acosa'dz', La formule (i) devient alors

(i cosx\ / i cosa'\ R-— ) : {R--«:-) = - a

cos a

cos a d'ou I'on tire