XIV. — Rayons de courbure en coordonnees multipolaires

Soient p { , p 2 , . . • , p n les distances d'un point M a des centres fixes P M P 2 , . . ., P„ ; une Equation non identique

(0 f(j>l,P*> •-•,Pn)=0

entre p u p 2 , . . ., p n repr£sentera une courbe, dont le rayon de courbure peut se construire g6om£triquement, comme

1NFINIMENT PETITS D'ORDRE SUPfiRIEUR. 12$

nous allons le voir. Soit ds l'element d'arc de la courbe (i) ; difierentiant (1), on a

(• 2 ) V *f dPi df>J ! V *f dlpi = Q.

j^ dpidpj ds ds ' ^ dpi ds 1

Or, en appelant x, y les coordonn^es rectangulaires du psint M et a,-, hi celles du point P;, on a

p)^{x-~ai)* + (y — b t y

et, en difierentiant deux fois,

«4>*5p*($) , -*^*: + (.-*,S*cr-MS-

tin

Si Ton divise Tequation (3) par /?/, elle exprime que -^ est

le cosinus de Tangle a/ que l'616ment ds fait avec le rayon/?/} si Ton divise (4) par/?,-, on aura alors

d t pi i i r

-~- H cos*a, = h - cos(p, />,■;;

ck 1 /?/ />* p r ^

p design ant le rayon de courbure de la courbe (i), cette forinule peut encore s'ecrire

d i p/ i . sin a/ — / r = — sin 1 a,

el (2) devient

V 1 frf V ^/ /sin* a/ sinaA