XVI. — Quelques observations sur la theorie du contact
Consid^rons liquation d'une courbe mise sous la forme
y = a-r- bx -h cx*-±- dx*-\-. . . ;
la droite y = a -f- bx est tan gen te a cette courbe ; en efTet, la difference des ordonn^es de la droite et de la courbe est x 2 (c-\- dx-\-. . .); au point commun x = o, y = a, cette diffldrence est done du second ordre : done, etc.
La parabole y = a + bx -f- ex 2 aura avec la courbe, au point x = o, y = a, un contact du second ordre ; car la diflfe-
rence des ordonndes des deux courbes est x z (d -+- . . .), c'esta-dire du troisieme ordre. Lorsque c sera nul, la parabole osculatrice se reduira a une droite, et le point x = o, y = a sera un point d'inflexion.
La parabole y = a -f- bx -+- ex 2 -f- dx* aura avec la courbe un contact du troisieme ordre, etc.
Considerons maintenant liquation d'une courbe sous la forme f(x, y) = o. Si nous donnons a x et a y des accroisscments £, y\ et si nous considerons £ et y\ comme des coordonnees courantes, liquation de la courbe prendra la forme suivant^, ou/ H ,/| 2 ,/22? • • • designent les derivees de/(#,j'):
L'equation
est liquation d'une tangente. En effet, les premiers membres de (1) et (2) ont m ernes derivees partielles du premier ordre
pour \ = o, r, = o, done monies -^- La courbe
a avec (i)un contact du second ordre, car elles ont pour $ = o, r 4 = o, memes derivees partielles premieres et secondes, et
par suite memes -?> monies -t^> etc.
Plus generalement, considdrons la courbe
(3) A/^-BU/ l -4-ij/«)-r.C(5VitH-aT l 5/ 11 + ii»/ lt ) = o;
elle aura avec la courbe (i) un contact du second ordre, car les derivees premieres des premiers membres de ces equations seront proportionnelles, ainsi que leurs derivees secondes
pour £ = o, 7j = o; les ~£ et -g£ seront alors les memes, et il
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est clair que cet £nonce* est susceptible de generalisation. Ceci pose\ rendons (i) homogene; nous aurons, en appelant m le degr£ de/, et en supposant x = o, y = o,
(^Vii-*--'-- 1 -* 1 /");
en n'ecrivant pas les termes nuls eten 6crivant £au lieu de
on a
SVis;
nous aurons de m&me, en n'^crivant pas les termes nuls et en vertu du th£oreme des fonctions homogene s,
e/i -*- n/, = — l — (K/» + tX/u )•
Prenant alors C — m(m — 1), B = 2(/n — 1 ), A = 1, la formule (3) deviendra
P/h ■+" V/m ■+" P/11 ■+- i/silt -+-a/»i 56 +- a/ufa =0;
cette Equation est celle d'une conique osculatrice. Quand le point xy est un point d' inflexion, trois des points de contact sont en ligne droite; la conique en question doit done se re*duire a deux droites, et Ton a
/n /it /is I
/a 1 fi% fzz
Nous retrouverons cette conique osculatrice plus loin sous le nom de polaire conique.
