XVII. — Theorie des roulettes
Je rappelle que l'on dit qu'une courbe roule sans glisser sur une autre, quand, ces courbes £tant sans cesse en contact,
les distances de deux points de contact successifs complies sur la courbe fixe et sur la courbe mobile sont egales.
Quand une courbe route sans glisser sur une autre courbe fixe, un point quelconque du plan de la courbe mobile d£crit une courbe appel£e roulette. La courbe fixe est la base, la courbe mobile est la courbe roulante.
Rapportons le syst&me k deux axes fixes Ox, Oy et aussi a deux systemes d'axes rectangulaires <oij, cot), li£s &la courbe roulante. Soient a, b les coordonn^es du point to par rapport a Ox et Oy.
Soient X, Y les coordonn^es du point de contact M des deux courbes, £, 7) les coordonnees du point P qui engendre la roulette par rapport aux axes 05, Oy), eta:, y ses coordonnees par rapport aux axes fixes; soient enfin u, v les distances du point P a la tan gen te et a la normale commune k la base et k la courbe roulante en M.
Prenons pour variable ind£pendante Tare s d^crit, soit sur la base, soit sur la courbe roulante par le point M , et soient
les Equations de la base par rapport aux axes fixes ;
Xi=?|(*) f Yi=«|li(*)
les Equations de la courbe roulante par rapport aux axes (o£, u>Yi. Calculons les coordonndes x, y en fonction de $ et t\ ; a cet effet, servons-nous des coordonnees auxiliaires u, v\ nous
aurons
x = X -+- acos(w, x)-\- v cos(t>, a?),
y = Y-+- ucos(u, y)-h i>cos(t>, y).
Si Ton d£signe par un accent les derivees relatives k s, on pourra £crire
ar = X-MiX' — pY', 7-= Y-haY' + pX';
or on a
l)=Yi-hl*Y' 1 -f-pX' l ,
l3o CHAPITRE II.
d'ou Ton tire
00 ( «= (S-XOX^^-YOY',,
I p^-cJ-XOY'.-i-dj-YOXi:
les Equations (i) deviennent alors
j* = X + (5-X 1 )(X'X' 1 -HY'Yi)-h(i,-Y 1 )(r i X'-X' 1 Y') f { > j ir = Y + (5-X 1 )(X' 1 Y'-Y' 1 X';H-(ii-Yi)(Y' 1 Y'+X' 1 .X');
ce sont les Equations de la roulette.
Avant d'aller plus loin, observons que, R d^signant le rayon de courbure d'une courbe en M, on a, en prenant Tare pour variable et appelant x, y les coordonnees du point M,
yy-\- x* of = o;
d'oii
Cela pose\ appelons tt et ^- les courbures de la base et de la courbe roulante; en differentiant (a), on aura
„' = ($ Xl )^ -Kti-YO^-X'^-Y?
ou bien
Ri Si Ton differentie alors les formules (i), on a, en vertu de (a),
*'= X'— h (aY'+t>X')+ a'X'- t>'Y', /= Y'-+- i (uX'~ pY')+«T+ p'X';
en vertu de (i) et (4), ces formules donnent
^=X'-1(jk-Y)-X'-^~ Y
ou
bien
on tire de la
ce qui prouve que :
La normale a la roulette passe par le point de contact de la roulante et de la base.
En ajoutant les formules (5), apres les avoir £levees au carr£, on a
n dlsignant la droite PM qui joint le point M de la roulette au point de contact de la roulante et de la base. On en conclut, en appelant o- Pare de roulette,
en diflerentiant (5), on a
G d&ignant, pour abreger, r H- s-' Multiplions la premiere par^ 7 , la seconde par x\ et ajoutons; nous aurons
-faf+xY=G'[(y-Y)/ + (x-X)x']
1 32 CHAPITRB II.
ou, en vertu de (5),
ou, en £liminant encore #', y' au moyen de (5),
c'esl-a-dire
afy* — y'x'= G*(/icos<p — G/i*),
cp d6signant Tangle que fait la droite n avec la normale commune a la base et a la roulante ; il en r^sulte
x'y* — y'x* i ncos<p — G/i 2 da % G n 3 ds z
ou, en appelant p le rayon de courbure de la roulette,
P ~VR" 4 "R l / n n'
cos? ____
Si l'on suppose R< = oo et si le point d^crivant est sur une droite mobile roulante,
p "~~ Rcoscp — n 3
mais dans ce'cas <p = -> et Ton a p = /i, ce qui est une propriety connue de la d^veloppante de la base.
