XVIII. — Digression sur on theorems de Ginematique
ThGoreme I. — Quand une figure plane se diplace infiniment peu d'une mani&re quelconque dans son plan, il existe un point dont le diplacement est un infiniment petit du second ordre.
Pour le d^montrer, rapportons la figure mobile : i° k deux axes fixes 0# et Oy situ£s dans son plan ; 2° a deux axes <*>£, d)7) mobiles, mais invariablement li£s a cette figure mobile.
INFINIMENT PETITS d'ORDRE SUPERIEUR. 1 33
Les formules de transformation des coordonn^es donneront
( x = x -+- ; cos © — tj sin©, ( y = 70 + 5 sin© -+-T) cos©,
•^o? JKo ddsignant les coordonn£es du point to et © d£signant Tangle de m\ avec Ox. On deduit de ces formules
!dx = dx Q — (£ sin© -+- tj cos©)c?©, dy = dy -+- ( £ cos © — tj sin © ) c?©.
{Nous n'avonspas differentia jj et7j, parce que, les axes mobiles «£tant lies a la figure mobile, les coordonn£es £, r\ d'un point <ie cette figure restcnt constantes.) Ces Equations peuvent
cl'ailleurs s'6crire
dx = dx — (y — y Q )dy,
dy = <f^ -4- (a? — x )dy.
Si Ton suppose dx = o, dy = o, alors A# et A/ seront du second ordre, le d£placement du point (x,y) sera du second ordre, et Ton aura
( dx 9 — (5sin©-4-7jcos©)c?© = o, ( ^o -+- ( £ cos © — 7) sin©)<f© = o.
Ces deux Equations d£termineront un et un seul point (£, 7j), except^ toutefois si rfo = o ; ce point, dont on aura les coordonn£es fixes x f y au moyen des Equations (i), a un d£placement du second ordre.
Ce point est ce que Ton appelle le centre instantani de rotation.
Supposons \ et t\ non plus invariables, mais donnas par les relations (3); le lieu des points £, t\ f obtenu en 61iminant entre (3) le param&tre variable dont les variations d£terminentlemouvement, est le lieu des centres instantanls dans la figure mobile : c'est une courbe C Les Equations (3) repr6sentent, si Ton veut, cette courbe C. Les Equations (i) represented le lieu C du centre instantani dans le plan fixe, pourvu
que Ton y suppose 5 et tj donnas par les formules (3). Diflerentions, en nous platan t a ce point de vue, les formules (i) : nous aurons
dx = dx — (\ sincp -+- 1\ cos cp)c?cp -+-(*/£ coscp — dr\ sincp), dy = dy -t-(£ coscp — 7j sincp )cftp -4-(d£ sincp -+- dt\ coscp)
ou,en vertude(3),
dx = d\ cos cp — dr k sin cp,
dy = d\ sin cp -+- dr^ coscp.
Multiplions la premiere par cos cp, la seconde par sin <p et retran-
chons; nous aurons, dans le premier membre de l'equation
r£sultante, la projection u du deplacement du point (x,y) sur
Taxe <o£
En appelant o la projection du m6me deplacement sur l'axe co7j, on aurait v = dr\ : il en r^sulte que, quand on donne a la figure un deplacement infiniment petit, le centre instantane se d£place dans la figure mobile et dans le plan fixe de quantitds £gales en grandeur et en direction (aux termes du second ordre pr&s); les diflerentielles des arcs de courbe G et C sont £gales, leurs projections sont £gales; done ces deux courbes sont tangentes et roulent Tune sur Tautre sans glisser-, done :
Theoreme II. — Le deplacement d y une figure plane dans son plan peut toujours s'effectuer en faisant rouler sans glissement une courbe invar iablement liee ct la figure mobile sur une courbe fixe, et cela d y une seule maniere.
Car : i ° le centre instantan^ de rotation est bien determine ; 2° quand deux courbes roulent Tune sur l'autre, le point de contact a un deplacement infiniment petit du second ordre; il est, par suite, le centre ins tan tan 6 de rotation (cela r£sulte de la definition m£me du contact du premier ordre) ; il y a des cas ou le centre instantan£ pourra 6tre rejet£ a Tinfini. II y a plus, si df est toujours nul, les axes mobiles resteront toujours
parallel es a eux-m£mes; il n'y aura plus de centre instantane, et le mouvement sera un mouvement de translation.
Corollaire I. — Quand une figure se meut dans son plan, les nor males a toutes les courbes dicrites par les differents points de la figure mobile passent par un point fixe (le centre instantane de rotation).
Corollaire II. — Pour trouver le point ou une courbe invariable men t liee a la figure mobile touche son en veloppe on cherche le centre instantane de rotation, etde ce centre on abaisse une normale sur la courbe enveloppante : le piedde cette normale est le point cherche.
Pour trouver le centre instantan£, d'apr&s ce qui vient d'etre dit, il sufGt de savoir mener la normale a deux courbes decrites par des points differents de la figure mobile. Si, par exemple, une droite de longueur constante a ses extr6mit£s sur deux droites rec tan gul aires, le centre instantan£ s'obtiendra en menant par les extr£mites A, B de cette droite des perpendiculaires OA, OB sur les deux droites fixes : le point O de rencontre de ces deux droites sera le centre instantan6. Soit M un point de la droite AB; il engendre une ellipse : MO sera la normale a cette ellipse au point M.
