XVIII. — Sur les epicycloides

Uepicycloide est une roulette engendrde par un point de la circonf&rence d'un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle fixe. L'^picycloide porle le nom fthypocycloide quand le cercle mobile est intdrieur au cercle fixe.

Soient R le rayon du cercle fixe, r celui du cercle mobile consider^ comme positif dans l'£picycloi'de ordinaire etcomme n£gatif dans rhypocycloide ; soit A le point d£crivant dans la position qu'il occupe lorsqu'il est le point de contact du cercle roulant et du cercle fixe. Prenons pour axe des x la

1 36 GHAPITRE II.

droite qui joint le centre O du cercle fixe au point A; designons par a Tangle dont a to urn 6 le centre du cercle mobile quand le point d£crivant s'est transport^ de A en une position M quelconque ; par x, y les coordonnees du point M ; posons en fin

le th6or6me des projections fournira tr6s simplement les relations (Jig. 27)

!x = (R -+- r)cosa — r cos (a -4- 3), y = ( R -+- r) sin a — r sin ( a -+- j3 ).

La construction du rayon de courbure et de la normale k cette courbe ddcoule des formules du paragraphe pr£c£dent : ainsi la normale au point M passe par le point de contact des deux cercles, et le rayon de courbure p est donn6 par la formule

COSCp — tt

Dans le cas actuel, cette formule se simplifie ; on a, en efiet,