COS
1 ir et Ton trouve, au signe pres,
TtR
p = n ■+- zr »
ce qui donne une construction bicn simple du rayon de courbure p; on voit qu'il suffit de prolonger la normale n d'uno
quantity ^ > que Ton construira comme il suit :
Soient (Jig. 27) O' le centre du cercle mobile, N le point de contact des deux cercles; on prendra NK= 2r + R ou, si Ton veut, on prolongera le diam&tre du point N de R, on joindra MK, on m&nera OG parallele a MK, et le point C
sera le centre de courbure de Fepicycloi'de, car NC = = •
r J ' R-+-ar
INFIJUMENT PETITS D'ORDRE SUPERIEUR. l$J
Par le point C, menons CS perpendiculaire sur GN ; il est facile de voir, par la comparaison des triangles CNS, N'NM, que NS
est constant et 6gal a ^
NS
aRr
• On a alors OS =
» de
ir
ir Rn-ar
sorte que ^ = ^-; le systeme des deuxcercles, ayant pour
rayons — et OS, est done semblable au systeme des cercles proposes, et il est facile de voir que Tare BS est £gal a
Fig. 37.
Fare CN. Si done on prend BP egal a la demi-circonfe'rence du cercle SGN, Tare CSN sera 6gal a Tare NA; le point G engendrera alors une e'picycloide semblable a la premiere. Done :
La divelopp&e (Tune ipicycloide est une autre epicyclolde semblable h la premUre.
Si, dans les formules (1), que nous e'erirons
x — ( R -+- r) cos a — r cos a >
y = ( R .+. r) sin a — r sin a >
on fait une transformation de coordonnees, en faisant tourner
l38 CHAPITRE II.
les axes de Pangle t:^j on trouve
x = ( R -+- r) cos ( a -h it ^ I — r cos f a t, — J ,
^ =(R^ r)sin^a-T-i: ^J — r sin (a ^ + r ^j,
et, si Ton fait a + 7t ^ = a', on a
x r= ( R -*- r) cos a' — r cos ( t: -+- a' j >
y = ( R -+- r ) sin a — r sin ( it -+- a — — j •
Or les Equations d'une epicycloide engendre'e par un cercle de rayon — r roulant sur un cercle de rayon R +-2r sont
^-(R + r) cos a -+- rcosa >
^ = ( R -+- r) sin a' -+- r sin a' — — ;
elles coincident avec les pr6c6dentes, d'ou il resulte que :
Toute epicycloi'de peut etre engendree de deux manieres enfaisant rouler un cercle sur un autre.
On voit que Tepicycloide a pour tangente la droite MN qui Penveloppe ; il est facile de voir que c'est le diametre d'un cercle dont le rayon est 2r et qui roule sans glisser sur le cercle fixe. Ainsi :
L' epicycloide est Venveloppe du diametre d'un cercle mobile qui roule sur un autre sans glisser.
Citons encore la proposition suivante de Chasles :
Le lieu des sommets des angles droits circomcrits a une Epicycloi'de est une autre Epicycloide.
INFINIMENT PETITS D'ORDRE SDPERIEUR. l3o,
. — Sur 163 courbes remarquables de la famille epicycloidale.
Quand le rapport ^ est commensurable. l'£picycloide est
eVidemment une courbe alge'brique.
i° Quand R = r, on a
x = 2R cosa - - R cos 2 a, j=aR sin a — R sin 2 a
011, en transformant les coordonn^es,
a? = (aR — 2R cos a) cos a, y =(aR — 2R cosa)sina;
si Ton regarde a comrae un angle polaire et si Ton designe par r le rayon wcteur, on a
r=z 2R — aR cosa,
ce qui est liquation d'une conchoi'de de cercle : cette conclusion est 6vidente par des considerations synth^tiques. 2 Quand r= — £R, on a une ligne droite : c'est la un theoreme de Lahire, bien connu du lecteur.
3° Nous examinerons le cas ou r = r; les equations de
la courbe sont
x == 3 r cos a -4- r cos 3 a,
y = 3 r sin a — r sin 3a; si 1'on observe que
cos 3a = cos 3 a — 3 cosa sin J a, et que
sin 3 a — 3 cos a* sin a — sin 3 a , on trouve
x = r(3cosa-f- cos 3 a — 3 cosa -4- 3 cos 3 a)
OU
.r = 4rcos 3 a, y = 4/"sin 3 a;
l4<> CBAPITRB II.
done
C'est liquation de l'enveloppe d'une droite de longueur cons tan te fir qui s'appuie sur deux droites rectangulaires, ce dont la G£ome*trie pure rend compte tres simplement.
Gette courbe est semblable a la d£velopp6e d'une ellipse dont les axes tendraient de plus en plus a devenir e*gaux; elle est du sixieme degre\ comme la d£velopp6e de l'ellipse.
4° Si Ton a r = — — > on obtient ce que Ton appelle Vhy-
pocycloide k trois rebroussements, courbe devenue celebre par les travaux de M. Cremona [Journal de Crelle, t. 64. Voir aussi, dans les Nouvelles Annates de Math6matiques, un article de M. Laguerre et un autre de Painvin; 1870). Les Equations de cette courbe sont
x = r(a cosa — cosaa), y = r(2 sin at — sinaa), d'ou Ton tire
(a?*-hy*)*-f- 8rx($y* — #*)-+- i8r 2 (j7*-f-7*)— 27 r* = o;
quand on prend le triangle qui a pour sommet les trois rebroussements de la courbe pour triangle de r£feVence, on trouve pour Equation ordinaire
y* z* -h z* #* -r x*y* = zxyz(x -+-y -+- z)\ et pour Equation tangentielle,
On sait que les pieds des perpendiculaires abaiss^es d'un point d'un cercle sur les c6t£s d'un triangle inscrit sont sur une droite que l'on appelle quelquefois la droite de Simson.
L'enveloppe des droites de Simson est une hypocyclo'ide k trois rebroussements.
INPINIMKNT PETITS D'ORDRE SUPfiMEUR. I 4 >
