XXI. — Gycloide et developpante de cercle

Quand R = oo , l'epicycloi'de devient une cycloide, et, quand r = oo , elle deg6n&re en developpante du cercle R.

Ainsi la cycloide est lacourbe engendree par un point d'une circonference qui route sans glisser sur une droite fijce.

Nous avons dej& 6tudie un grand nombre de propri£t£s de cette courbe sans en faire connattre la g£n6ration.

Prenons (Jig* 28) pour axe des x la droite fixe sur laquelle

Fig. 28.

roule le cercle g6n£rateur, et pour origine O le point ou la cycloide rencontre l'axe des x f en sorte que O soit le point ou le cercle g£n£rateur touche Ox quand le point d£crivant est sur l'axe des x.

Les coordonn6es £tant rectangulaires, appelons u Tangle que fait le rayon CM du cercle g£n£rateur avec la direction CA : c'est l'angle dont le cercle a tourn6 depuis qu'il a quitt6 son point de contact O avec Ox. Soient OP = x, PM =y y les coordonn£es du point M de la cycloide, a le rayon du cercle g£n£rateur; l'inspection de la figure donne

a? = a(a — sin u), y = a{\ — cos a).

R£sumons les principales propri£t£s de la courbe : i° La normale en M passe par le point de contact A du cercle g£n£rateur et de la base Ox (p. 1 3 1). 2 MB est la tangente.

I 4a CHAPITRE II.

3° Le rayon de courbare est double de la normale MA (p. 101).

4° La developpee de la cycloide est une autre cycloide egale et semblablement placee; ses sommets coincident avec les points ou la cycloi'de proposee rencontre sa base (p. 1 1 1).

5° Les points ou la cycloide rencontre sa base sont des points de rebroussement. La courbe se compose d'ailleurs d'une infinite de branches egales, placees les unes a la suite des autres.

6° Le lieu des sommets des angles droits circonscrits a la cycloi'de est une cycloide.

TV. B. — La proprieHe 4° se deniontre g^omelriquement avec la plus extreme facility.