XXII. — fipicycloides allongees on raccourcies
L'epicycloide allongee ou raccourcie est engendre'e par un point du plan d'un cercle mobile qui roule sans glisser sur un cercle fixe. Les proprietes de ces courbes r£sultent des considerations dcveloppees aux. paragraphes precedents; leur etude estdu domaine de laMccanique. Toutefois nous ferons observer que parmi ces courbes se trouve Tellipse qui est engendree par un point du plan d'un cercle mobile qui roule interieurement sur un cercle de rayon double ; on d6duit de la un moyen nouveau de construire le rayon de courbure de l'ellipse. Gette propridte se demontre geomdtriquement avec la plus grande facilite, en s'appuyant sur le th^oreme de Lahire et sur cette propriete de Tellipse, qu'elle peut etre engendree par un point invariablement lid a une droite de grandeur constante qui glisse entre deux droites rectangulaires.
La cycloi'de allongee ou raccourcie a quelquefois regu le nom de trocho i'de ; Vtpicyclo'ide allongee ou raccourcie s'est aussi appelee tpitrochoide ou hypotrocholde.
INPINIMENT PBTITS D'ORDRE SUPfiRIEUR. 1^3
Soient R le rayon da cercle de base ; r le rayon du cercle roulant, consid£r£ comme positif dans l'epitrochoide et comme n6gatif dans Thypotrochoide ; I la distance du point qui d^crit la roulette au centre du cercle roulant. Nous supposerons les cercles en contact sur la partie positive de l'axe des x : le point d£crivant sera done situ6 sur l'axe des x\ I sera consid£r£ comme de m6me signe que r ou de signe contraire, suivant que le point d£crivant sera, par rapport au centre du cercle roulant, du m&me cdt6 ou non que le point de contact; soit eniin a Tangle dont le cercle roulant a tourn6. Les coordonnees d'un point de la roulette seront donnees par les for-
mules
a? = (R + r) cos a — I cos [3,
y = (R-h r) sin a — / sinp, ou Ton a pos£, pour abreger,
Quand — sera commensurable, la roulette sera une courbe
alg6brique. Quand (3= — a ou R = — 27% on a une ellipse, comme on Pa observe plus haut.
EXERCICES ET NOTES
1. Trouver le lieu des centres et des foyers des courbes du second degre qui ont entre elles en un point donn6 un contact du troisie'mc ordre.
2. Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont entre elles en un point donne un contact de second ordre.
3. Si Ton considere une conique et son cercle osculateur, la tangente commune et la corde commune sont egalement incline'es sur les axes : en profiter pour construire le cercle osculateur.
