La chalnette
a pour rayon de courbure - - — • On a
ds y c&r m
14. Dans l'hyperbole equilatere, le rayon de courbure est la moitie de la corde norm ale.
15. Voici quelques formules relatives aux coordonnees tangentielles calcul6es par M. Painvin :
Soient u, v les coordonnees tangentielles d'une tangente a une courbe; U, V les coordonnees courantes; on a les formules suivantes : liquation du point de contact :
(U — u)dv — (\ — v )du = o.
Coordonnees x, y ordinaires du point de contact :
dv du
*=T7^ ZTJ7> y =
udv — vdu udv — vdu
Element d'arc :
, i—i dvd*u — du d* v
ds = \Ju* 4- v* - ( — -} , xt •
{udv — vdu) 1
Coordonnees a ft , v\ de la normale :
__v(udv — vdu) __ u(udv — vdu)
f ~ udu-\-vdv ' 1— udu-^-vdv
Rayon de courbure :
r* / •. m £dvd*u — dud*v v (udv — vdu)*
16. Voici d'autres formules du m£me auteur; quelques-unes etaient deja donn6es ailleurs. Soient p la distance de Forigine a la tangente
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a une courbe, a Tangle que la normale fait avec l'axe des x\ on a, en eraployant les notations du numero precedent,
cos a sin a i v
u= > v = , p 1 = — -> tanga=-,
dp . dp
x=pcosa. — -y- sin a, y = p sin a -+• -f- cos a,
act as
ds = p da. -+- d -~ >
* aa
a*p dp
Mi = — sin a : -T , ^ = cos a : -f- •
aa aa
17. Si Ton considere deux courbes de grandeur et de forme constantes, tournant autour de points fixes et O' situes dans leur plan et invariablement lies a ces courbes, si de plus ces courbes sont constamment tangentes, de telle sorte que, M designant Ie point de contact act u el, N et N' les points de contact a un autre instant, on ait toujours arc MN = arc MN', on dira que les courbes sont syntrepentes; une courbe qui a pour syntrepente une courbe egale est dite isotrSpente. Soit 00' = k; prouver que l'equation des isotrepentes en coordonn^es polaires est
dr r
F designant une fonction symetrique de r et k — r.
(Miquel, Journal de Liouville, t. II, i e s6rie.)
18. Le lieu des sommets des angles constants circonscrits a une epicycloide est une 6pitrochoi*de.
19. Si des rayons lumineux paralleies viennent se reflechir sur une circonference, l'enveloppe des rayons r^flechis sera une epicycloide.
(Lhopital, Analyse des infiniment pet its.)
20. L'enveloppe des rayons lumineux eman6s d'un point fixe et r6fract£s par une courbe plane G situee dans un meme plan avec le point lumineux est la developp6e de l'enveloppe de cercles ayant leurs centres sur la courbe G. Soient M le centre de Fun d'eux, L le point
ML
lumineux, n l'indice de refraction : son rayon sera — •
INFINIMENT PETIT8 D'ORDRE SUPfiRIEUR. 1 47
21. Par un point fixe on mene des rayons vecteurs 6gaux et parallels aux rayons de courbure d'une courbe fixe G ; le lieu des extremites de ce rayon est une courbe C dont on demande Texpression du rayon de courbure, en fonction du rayon de courbure et de Tare de la courbe proposed C.
