I. — But et utilite de la theorie des points singuliers

Les theories que nous avons expos£es dans les Chapitres precedents ne s'appliquent pas aux points des courbes que nous avons appel^s singuliers.

Ces points sont ceux ou Pordonn^e^ d'une courbe, considered comme fonction de son abscisse, n'estpas deVeloppable par la formule de Taylor. lis sont done caracte>ises par ce fait que y ou Tune de ses d£riv£es cesse d'etre finie ou continue.

Toutefois nous ne considererons pas comme n£cessairement singuliers : i° les points situ6s k Tinfini dans des circonstances qui seront mentionne'es plus loin; i° ceux ou Ton aurait

-~£ = oo , si cette circonstance disparait par une transformation de coordonn6es.

Dans cet ordre d'id£es, les points d'inflexion ou une droite a avec la courbe un contact du second ordre ne sont pas singuliers, pas plus que les sommets ou la courbe a avec un cercle un contact du troisieme ordre.

Cependant nous verrons que, par rapport aux coordonnees tangentielles, les points d'inflexion jouent le role que les tangentes aux points de rebroussements jouent par rapport aux coordonnees cart^siennes, et, k ce point de vue, on les range parmi les singularity des courbes planes.

Nous ferons, dansceChapitre, une 6tude d£taill£edes points singuliers, d'abord parce qu'il convient de revenir sur les rai-

Etude des points singuliers. i4g

sonnenients faits, en excluant syst^matiquement ces points, et ensuite parce que les courbes douses de points singuliers jouissent de propri^tes remarquables qui en simplifient la th6orie, contrairement a ce que Ton pourrait croire au premier abord.

II. — Digression sur une question d'Algebre (solution de M. Minding).

Nous allons nous proposer de r&soudre la question suivante, indispensable pour faire une bonne th£orie des points singuliers :

Etant donnie une equation entre deux variables

dans laquelle f est une fonction entiere ou, plus generatementy une fonction developpable suivant les puissances entires de x et y, determiner les ordres des racines y de cette Equation par rapport & x, quand on y suppose x et y infiniment petits (bien entendu, on suppose que, pour x = o, y est nul; ou, si Ton veut,/ ne contientpas de terme ind£pendant de x et^).

On peut meltre l'equation (i) sous la forme

X , X <7 ... d£signant des polyndmes en x (ou des series ordonn6es suivant les puissances ascendantes de x) dans lesquels nous supposerons que les puissances de x les moins £lev£es sont respectivement x n *, #"t, . . . , #"*, . . . ; nous supposerons d'ailleurs

/Wo < mi < m% < . . . < in/ < . . . .

Posons^ = ax s ; nous aurons, en supposant a fini,

(2) X a OT »a7 m o*-i-X 1 a m ia? m i'-f-. . .4- X/a" 1 ; #'"<*-*-. . . =

l5o GHAPITRB III.

ou encore

(3 ) a m Q -+- =- <l m i x {m i~ m ^* -+- . . . -+- ^- OL m i xlmi-mjs *-...= o ; Ao Xo

les prdres infinit^simaux des divers termes de cette formule so nt respectivement

o, rt\ — n -f-*(/ni — m ), ..., n/— /ij-w(m/— mo), ... ou bien

I o, (mi—mo) Is— ~ — -J- \, •-., (4 ) J L mi -m J

Soit o- la plus grande des quan tires

/lo — Hi /Iq — /ij /lo — /*/■

mj — mo /itf — mo m/ — mo

plusieurs d'entre elles pouvant 6tre £gales d'ailleurs : la suite aura tous ses termes positifs ou nuls si Ton prend s = <r. Soit i le rang du dernier terme nul; si dans (3) on suppose x = o, on aura une Equation de la forme

Cette Equation fait connaitre les valeurs finies de a et, par suite, les racines de (i) d'ordre s; et m£me la limite du rapport—* Le nombre des racines de cette Equation (5), diflferentes

de o, est #w/ — m ; c'est aussi le nombre des racines de (i),

qui sont d'ordre

n — ni

On voit enfin que (i) a m racines d'ordre sup^rieur a o\

Pour trouver les ordres des racines d'ordre sup^rieur a t, divisons les deux membres de (2) par X|-jc w «*; nous aurons

ETUDE DES POINTS SINGULIERS. l5l

Les ordres des termes de cette Equation sont

ou

Soit o' la plus grande des quantity ' __ * > dans lesquelles

Wi — n* 5 graiiue ues quanuies

A* > *, et soit

nij — m/

ff , m—n j m

si Ton fait s = <r / , tous les termes de la suite (7) qui suivent o sont nuls ou positifs ; je dis qu'il en est de m£me de ceux qui precedent, il suffit pour cela de prouver que, si k < i : < / ,

on a

Hi — rik ni — nj

THfc — /It/ TYlj — /W/

Or on a, d'apr&s la definition de <r f

/to — nt ^ ^o — Kk

ou, appelant e une quantity positive,

/to — /i/ /to — itfr-h z nt — rik -+- e #

/7ti — /ito m^ — //to //tjt — nii

done, comme m*<^/n,-,

/7t/ — //to ~ //t>t — "*i

mais n/ "~" y > ou a', est plus grand que — -> et Ton peut

my — m/ 7 r o t m ^ — m<) r

poser

/to — /t/ to — n J "+" 6

m { - — m mj — m©

l5a GHAPITRE III.

d'ou l'on tire

/io — /*/ fi{ — rij-t-z

mi — /rig ntj — trig

et, comme ntj — mi est positif,

ftp — */ ^ ni—nj 9

THi — HIq 171 j — ITii

de cette formule et de (a) on d£duit rin^galite* qu'il fall ait 6tablir.

Faisant done s = (x^, puis # = o, la formule (6) devient

il y a done m/ racines d'ordre supe>ieur a d et ntj — m f - racines d'ordre 6gal a <r'.

Si Ton divise alors tous les termes de (i) ou (2) par Xyx*'*/, en raisonnant comme nous venons de le faire, on aura les racines d'ordre m* — my, k d£signant un nombre facile a determiner comme i ety, et ainsi de suite.

m. — Methode de Newton.

La methode de Newton est Interpretation geometrique de la methode de Minding, ficrivons liquation (1) sous la

forme

2 A x*yJ = o,

appelons jx l'ordre de y et considerons le groupe de termes

de l'ordre le moins elev£; il devra contenir au moins deux

termes

Xx l yJ, Hx k y l \

ces deux termes £tant de m£me degre* 8, on a

(p) i-h jiy = *-+- [jl/ = S

ou

ce qui prouve que [x est commensurable. Ceci pos6, consid£rons i et j comme les coordonnees d'un point et marquons lous les points i 9 J; a tous les termes de m£me degre* correspondent des points en ligne droite en vertu de (/?), et liquation de cette droite, pour un degre* 8, est

Quand 3 croit, la droite, pour une m£me valeur de |x, s'eloigne de 1'origine; done la droite qui contiendra les points i,j correspondant au degre minimum ne devra laisser aucun point marque* du cote" de 1'origine des coordonnees.

Done, si l'on forme une ligne polygonale convexe, passant par des points marques, dont les c6t£s laissent du c6te* oppose* a 1'origine des coordonnees tous les points marques par lesquels ils ne passent pas, les cot£s de cette ligne polygonale determineront les points r^pondant a la question. Par exemple, soit A un c6te* de la ligne en question : supposons qu'il contienne les points (i,y), (?,f)i (Fif')\ on posera

*-+- ft/ = 8 > ?•+■ ft/'=^'

ces deux formules d&terminent |x et 8, e'est-a-dire le degr6 de y relativement a x et le degre* total des termes que Ton peut grouper de maniere a obtenir des termes de (i) de degre* minimum; (j, j ), (t 7 , f), . . . feront connattre les termes euxm&mes.

II faut remarquer que, parmi les points (i,j), il y en aura n^cessairement un sur l'axe des x et un sur l'axe des y 9 si liquation (i) est irreducible. En effet, cette equation, ne contenant pas de terme independant de x ely, ne saurait avoir tous ses termes divisibles para; ou par y\ ily aura done n£cessairement un terme ind^pendant de x et un terme ind£pendant de y\ en d'autres termes, il existera un exposant i nul, ainsi qu'un exposant j nul, ce qui fournira bien un point a marquer sur chaque axe de coordonnees.

Ni la m£thode de Minding ni celle de Newton, comme Ton voit, ne permettront de determiner les ordres des racines

au moyen d'une formule g£n6rale. Chaque cas particulier exigera une discussion sp£ciale.

IV. — Caracteres des points singuliers dans les conrbes algebriques.

La discussion que nous allons entreprendre est due a Sturm ; elle a 6l6 perfectionn^e par Briot. Elle a 6l6 faite surtout en vue des courbes algebriques, mais elle s'appliquerait a toute courbe dont le premier membre pourrait 6tre developp£ par la formule de Taylor.

Soit

l'equation d'une courbe que nous supposerons alg^brique (ou telle que son premier membre soit d£veloppable par la formule de Taylor); soit, pour abr^ger,

fi ~dx 7 A= ty' fu "dx^ fit -tejy

si nous 6prouvons le besoin de rendre cette Equation homog&ne en introduisant la variable z y nous poserons en outre

Ceci pos6, nous allons prouver que :

Sif% et/ 2 sont diffirents de zero en un point (#, y)> ce point ne saurait itre singulier, mais it pourra presenter une inflexion.

En effet, donnons a x et y les accroissements \ et t, ; liquation (1) deviendra

ou bien, en observant que/(x, y) est nul,

(a) $/i + r,/, -+- { (/up 4- 2/„5t) -+-/„t)*) -4-. . . = o.

fiTUDE DBS POINTS SINGULIERS. l55

On peut regarder le point (x,y) comme origine de nouvelles coordonn£es £, 7). Nous allons chercher comment la courbe coupe deux parall&les AB, A'B' menses k la distance £ de l'axe

Fig. 29.

des j\ A cet effet, puisque/i et/ 2 ne sont pas tous deuxnuls, supposons / 2 ^ o et posons

La formule (2) pourra s'6crire (3) a — a-f-£P = o,

P designant une fonction de £ et de a, finie pour 5 = o et pour des valeurs finies de a. Si Ton suppose £ tr&s petit, en vertu de cette formule (3), a converge vers a, le coefficient

angulaire a = 2 de la s£cante OM issue de Torigine O converge vers le coefficient a = — y- de la tangente. Si Ton prend la d£riv£e de liquation (3), on a

„ dP

da

Quand £ est tr&s petit, cette Equation ne saurait avoir lieu, la d£riv6e 1 -+- £ — conservant alors toujours le meme signe ; le premier membre de (3) ne s'annule qu'une fois : l'£qua-

lion ( i ) a done la seule racine a = a finie, et la courbe ne rencontre ABqu'en un seul point. Elle la rencontre d'ailleurs, car pour a = a le premier membre de (3) a le signe de P, et, en faisant a=a + Aoua=a — A, ce premier membre sera, pour de petites valeurs de £, positif ou n£gatif ; si, pour fixer les id£es, P est positif, la racine de (3) sera comprise entre ct el a — A et par suite la courbe coupera AB au-dessous de OT : elle la couperait au-dessus dans le cas contraire. Une discussion toute semblable fourniraitdes r£sultats analogues relativement a la parallMe A'B' correspondant aux valeurs negatives de £.

J'ai dit que, pour a = a, le premier membre de (3) avait le signe de P ; cela est vrai quand P n'est pas nul pour a = a, mais on peut toujours supposer P^ o pour a = a, sans quoi toute l'equation serai t divisible par a — a; liquation (i) serai t divisible par \f K -h r\f 2 et ce facteur pourrait 6tre supprim£ : une droite ferait partie int^grante de la courbe que l'on discute. Suivant les cas, le point O pourra £tre un point ordinaire ou un point d'inflexion ; ce sera un point d'inflexion si la courbe coupe AB et A'B' de part et d'autre de la tangente AT. Ce dernier cas se pr^sentera si P change de signe avec £, ce qui exige qu'il contienne £ en facteur. Alors, en effet, supposant par exemple P > o, pour £ > o, la courbe coupera AB au-dessous de AT, et, pour £ <[ o, P etant <^ o, la courbe coupera A'B' au-dessus de AT.

Ainsi le point O n'est pas un point singulier, puisque y

est bien d6termin£, ainsi que -j- = — y 7 et P ar su * te c [ ae -j-^, • • • > mais ce point peut £tre un point d'inflexion; done :

Pour qu^un point soit singulier, ilfaut que Von ait en ce point

En coordonn^es homog&nes, liquation /= o peut se mettre sous la forme

il en r£sulte qu'en un point singulier on a aussi/ 3 = o. Ainsi :

ETUDE DBS POINTS SINGULIERS. l5j

En coordonnees homogenes, la condition pour que le point {x } y, z) soit singulier est

C'est aussi la condition, en coordonnees triliniaires, pour que Ton ait en x, y, z un point singulier, ce dont on peut se convaincre aisiment en posant

x = \ cosa-+-T) sina — p, y = \ cos [3 -hi) sin p — q,

z = \ cosf -r- t, siny — r,

et en observant que les Equations /== o, p = o, — = o entrainent/, = o, f t = o, / 3 = o.