V. — Remarques

Reprenons Inequation (2) du paragraphe precedent, (a) 5/i-+-TQ/i-Hi(/ii6 , + a/iih- u /t«V)-*---- = o.

Liquation \f h -4-71/2 = est celle de la tangente; on peut le verifier en observant que cette droite coupe la courbe en deux points confondus a Torigine £ = o, r\ = o. Cette tangente partagele plan en deux regions R 4 et R 2 ; dans la premiere \J K -+- 7|/ a est positif, dans la seconde il est nigatif.

Eng£niral, dans (2), les termes du second ordre, en £, y\ y donnent leur signe a toute la partie du second membre qui suit les termes du permier ordre (a moins que les termes du second ordre soient nuls en mime temps que ceux du premier); pour un point de la courbe, £/i-h*)/a est de signe contraire aux termes du second ordre. Ces termes du second ordre ne changeant pas de signe, ceux du premier ne changent pas de signe non plus ; done, dans le voisinage du point (#, y), la courbe reste dans une mime region K t ou R 2 , e'est-a-dire dans un mime c6t6 de la tangente.

Ce raisonnement tombe en defaut quand les termes du second ordre peuvent s'annuler avec ceux du premier, c'est-

l5S CHAPITRE III.

a-dire quand 5/i + ^1/2 divise les termes du second ordre.

Supposons que ^/ t 4- fl/2 divise les termes d'ordre 2, 3, . . . , i

sans diviser ceux d'ordre i-\- 1 ; si l'on pose, pour abr^ger,

\ft -f- 7[/ 2 = T, on pourra mettre liquation (2) sous la forme

T(i-f-Q)^ u/l yV — x -f-... = o.

Plagons-nous sur un point de la courbe, T(i -t-Q) aura le signe de T, les termes suivants auront le signe du seul terme ^crit, T sera de signe contraire a ce terme. Si ce terme est d'ordre pair, T, pour un point de la courbe, conservera son signe; la courbe est alors, dans le voisinage du point ( x, y), dans la m^me region R f ou R 2 . Si, au contraire, le terme consider6 est d'ordre impair, T changera de signe avec r, et £ ; la courbe traversera la tan gen te et passera de la region R f a la region R 2 : il y auraune inflexion. D'ailleurs la tan gen te T = o a avec la courbe un contact d'ordre i, puisqu'en coupant la courbe par T = o on trouve i -f- 1 points d'intersection confondus en x, y.

Ainsi, en appelant i-\-\ V ordre du premier imanant de f qui ne Vannule pas avec Vemanant \f\-*-fifz, la courbe a avec sa tangente en x, y un contact d } ordre i y et par suite une inflexion sii-\- 1 est impair, pas d 9 inflexion (pour Voeil) si i -f- 1 est pair.