VI. — Points singnliers ordinaires

Conservons les notations du paragraphe pr6c£dent. Pour que la courbe

pr^sente une singularity en x,y^ il faut que

(2) /i = o, fi = o.

Voyons maintenant si cette condition est suffisante. En don-

ETUDE DES POINTS SINGULIERS. l5g

nant toujours a x ely les accroisse merits £, rj, on a, en tenant compte de (i) et (a),

liquation doit n^cessairement presenter un terme ind6pendant de £ ou r), sans quoi elle serait divisible par une de ces variables et liquation (i) ne serait pas irr^ductible. Nous supposerons que/ 2 2^o; divisant alors par £ij 2 , nous aurons

Q d£signant un polyn6me qui reste fini pour £ = o, tant que a n'est pas infini. Nous distinguerons trois cas :

!° fw 4- % a f\2 + « 2 /m est decomposable en facteurs distincts r£els :/ 2 a(a — <*X<* — (3); (3) s'e'crit alors

/it (a — a)(a — p)-h$Q = o.

On peut supposer / 22 positif; tragons les droites OT et OS (/?£-. 3o) ayant pour coefficients angulaires a et p. On peut

supposer Q different de z£ro pour a = a ou a = p, sans quoi /" = o ne serait pas une Equation irr^ductible. Supposons, par exemple, a > p et Q positif pour a = a. En faisant a = a et a = a — A, le premier membre de (4) prend des signes contraires, si £ est suffisamment petit. Liquation (4) a done une racine a voisine de a, y a une valeur AM voisine de a\ = AT

et la courbe coupe AB dans le voisinage du point T (ici audessous du point T). On verrait de m£me que la courbe coupe AB dans le voisinage du point S. D'ailleurs, il n'y a pas d'autre point voisin de O sur la courbe et sur AB, car la derived du premier membre de (4) ou (3) se r6duit a.

V» + 2fl /« + 5

dQ da

et ne s'annule qu'une fois pour des valeurs finies de a, quand £ est tres petit. On verrait de me'me que la courbe coupe A'B' en deux points voisins du point O; il serait d'ailleurs facile de dire si ces points sont au-dessus ou au-dessous de OS et de OT, qui, £tant des li mites de se'cantes, sont evidemment des tangentes. Le point O est done singulier et deux branches de courbe viennent s'y croiser: e'est un point double ou nopud simple.

2° Si/ n 4- 2fl/, 2 -4- a 2 / 2 2 n'est pas decomposable en facteurs re"els, Tequation (3) conserve le signe de ce trindme (qui ne s'annule jamais) pour de petites valeurs de £; il n\ a done pas de points de la courbe dans le voisinage du point O qui est alors un point isole ou conjugue.

3° Si / n -h iaf K% -f- a 2 / 2 2 est un carre* parfait, alors

/ij — fix fit — o,

et (3) peut s'e'erire

Tra^ons la droite OT qui a pour coefficient angulaire a; a tend vers a pour $ ■= o ; cette droite OT est done une tangente. Si Ton fait a = a, pour £ > o le premier membre de (5) a le signe de Q ; pour d'autres valeurs de a, il est positif ; si done Q est positif, il n'y a pas de rencontre de la courbe avec AB, ma is certainement il y a alors rencontre avec A'B'; car, pour a = a, le premier membre de (5) est ntfgatif et, pour d'autres valeurs de a, il est positif; on peut done dire qu'il y a au moins deux rencontres, l'une au-dessus, l'autre au-dessous de la tangente,

ETUDE DES POINTS SINGULIBRS. l6l

sur A'B', et qu'il n'y en a que deux, si Ton observe que la d£riv£e du premier membre de (5) est 2/ 22 (a-^- a)+ £ -p »

et ne s'annule qu'une fois pour de petites valeurs de £. Nous avons suppose Q positif pour a = a : on serai t arrive

a des r6sultats analogues en le supposant n6gatif. Mais, quand Q peut changer de signe avec £, il faut modifier notre raisonnement : on fait alors

et (5) devient

"Q = A-hB$-hC5*

Supposons seulement A^=o, pour a = a: alors le premier membre de (6) a le signe de B; si done B est n<5gatif, comme pour a^a, ce premier membre a le signe +, la courbe rencontre AB et A'B' chacune en deux points; la courbe se compose en O de deux branches tangentes entre elles. Si B est positif, on ne peut plus rien affirmer, et il convient de modifier la th£orie ; posons alors

la formule (6) deviendra

/«*'* S a -H(A ■+- A' \i! -+-... )? -+- (B -+■ B' $a' -h. .. )£*+...= o, L. — Traite d' Analyse, II. 1 1

l62 GHAPITRE III.

A , B , . . . design ant les valeurs de A, B, ... pour a = a; cette Equation peut s'icrire, en divisant par £ 2 et en observant que A = o,

(7) / !! a'»+A' a'+B + Ef^a'» + B' «' + ...J + ...= o.

Si le trindme en a' ind£pendant de £ est toujours positif, a' est imaginaire et O est un point isoli; si ce trin6me peut s'annuler, a prend deux valeurs rielles a + a'{ et a -f- {3'£, et la courbe se compose de deux branches situies de part etd'autre ou du mime cot£ de la tangente commune, suivant que a' et f3' sont de signes contraires ou de mime signe.

Si le trindme en a! a ses racines e gales, liquation (7) a deux racines igales : si le coefficient de £ est positif quand £ est nigatif, a a alors deux valeurs de la forme

a-h(a'-t- e,)£ et a -f- (a'-f- £»)?,

E f et e 2 etant tr&s petits par rapport a a'; la courbe se prisente done sous la forme de deux branches situies d'un mime c6t£ de la tangente commune, et il est clair qu'elle ne coupe qu'une des parall&les AB, A'B': le point O est alors un rebroussement de seconde esp&ce. Ces conclusions sont en defaut quand

— + BV-4-. • •, coefficient de £, est nul; on voit comment

Ml

on devrait d'ailleurs continuer la discussion.

En risumi, si/ H , / 12 , / 22 ne sont pas nuls k la fois, la courbe a en x, y un point singulier; ce point est alors dit point singulier ordinaire.

Si /h/22 — /J 2 n ' est P as nu l> deux branches de courbe, rielles ou imaginaires, se coupent en O et Ton a un point double rSel ou imaginaire; si / u / 22 — /J 2 est nul, on dit que l'on a un rebroussement : les deux branches de courbe passant en x, y sont tangentes.

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