VII. — Points singnliers extraordinaires

Conservons to uj ours les me*mes notations que dans les paragraphes pr6c6dents. Si / n , / 12 , /ia sont nuls en m&me temps que/ 4 , / 2 , /, le point (x, y) est encore un point singulier, com me nous allons le voir; on dit alors, pour des raisons que Ton comprendra plus loin, que le point singulier est extraordinaire. Pour discuter ce cas dans toute sa g£n£ralite, nous supposerons qu'ayant mis 1'equation de la courbe sous la forme /( x -+- £, y -4- t\ ) = o, on la d^veloppe par rapport aux puissances de \ et 7j. On obtiendra un r^sultat de la forme

7) aura alors di verses valeurs infiniment petites de divers ordres par rapport k £. On d6terminera les ordres de ces diverses racines comrae il a 6t& explique (p. 149 et i52) :

ayant adopts un ordre - pour 7j, on d£composera le premier

membre de (1) en groupes de termes de me* me ordre, et Ton fera

5 = ± av, t) = auY; a ~\

L'equation (1), en divisant par une puissance convenable de m, prendra alors la forme

(2) <p(a)-f-ax( a )-^ » f +(a)-i-...= o f

?( a )» X( a )> *K a ) d^signant des fonctions entieres. Si Ton suppose \ et par suite u tres petits, liquation (2) ou (1) de la courbe devient sensiblement <p(a) = o. Si a est une racine reelle simple de <p(a) = o, le premier membre de (2) change de signe quand on remplace a par a 4- A et a — A, pourvu que £ et par suite u soient assez petits. A cette racine correspond une branche de courbe et une seule, car la d6riv£e du premier membre de (2) est f'( a ) -+- «x'( a ) "*"• • •

l64 CHAPITRE III.

et a le signe de <p'(a), qui par hypothese n'est pas nul; cette d£riv(5e ne changeant pas de signe de a — h a a -+- A, il ne peut y avoir qu'une racine de (2) dans cet intervalle [cette branche coupe d'ailleurs AB et A'B', si y^(a ) n'est pas nul]. Si a est une racine multiple de <p(#) = o, d'ordre de multiplicity/? par exemple, (a) prendra la forme

La discussion n'offrira pas de difficult^ si y(a ) est different de ze>o; mais, si /(tfo) = °> <> n posera

a = Oo -+- ua',

et Ton proc£dera comme on l'a indiqu£ pour la discussion d'un point ordinaire.

A un point de vue purement analytique, quand les de*riv£es du premier ordre de / sont nulles, le point ( x, y) est un point double, et les tangentes au point double ont pour Equation

ou, avec les axes primitifs,

En general, soit p l'ordre de la premiere differentielle de f qui ne s'annule pas. On aura symboliquement

1 • Jb * *J m m a fJ

e designant un infinimenl petit de l'ordre (p + 1); les points (x -+- £), (y 4- t\) etant sur la courbe, on aura

(ifi -+- r iA) ip) ■+- e = °- Divisons par ty 9 nous aurons

e' s'annulant avcc \; si Ton appelle a la limite du rapport j.

fiTUDE DBS POINTS SINGULIERS. 1 65

c'est-a-dire du coefficient angulaire de la droite joignant le point (#, y) au point (x -f- £), (y 4- *l), on aura

Cette Equation montre que la courbe a p tangentes au point (x,y) et que leurs coefficients angulaires a sont donnas par la formule (P). Liquation des tangentes elles-m£meS sera done

et, en coordonn£es homog&nes,

Elles sont au nombre de /?, r^elles ou imaginaires, et l'on dit que le point (x, y) est multiple d'ordre p. Le noeud peut n'£tre pas apparent; e'est ce qui arriverait, par exemple, si deux branches de courbe imaginaires se croisaient en un point M d'une branche r^elle; mais, analytiquement, le point presentera les caract^res d'un point singulier. Ainsi, en g£n£ral, si un point (x, y) est multiple d'ordre p, toutes les derivees de f, Jusqu'd Vordre p — i inclusivement, sont nulles en ce point, et riciproquement d'ailleurs.

Cette condition se traduit en coordonn&es homogenes en disant qu'en un point multiple d'ordre p, toutes les derivies d'ordre p — i du premier membre de l } equation de la courbe, relatives ax, y, z, sont nulles.

En eflet :

i° Si Ton a

/i = o, fi = o, f = o,

la derni&re Equation peut s'^crire

et, en vertu des deux premieres, elle devient / 3 = o. 2 Si Ton a

/=°> /i = 0, /j=0, /i!=0, /u = 0, /il = 0>

l66 GHAPITRB III.

on aura

ces Equations peuvent s'6crire

x f\\ +yf it ■+- Vis = o,

*/ii -t-yfn ■+■ V« = °»

et, en vertu de / l4 = o, / 12 = o, / 2 a = o, elles deviennent

/is = o, /js = o, / 8 j = o,

et ainsi de suite.

Cesont aussi les conditions pour qu'une courbe

donnie en coordonnies triliniaires ait au point (x, y, z) un point multiple d'ordre p.

En effet, les coordonnies trilin£aires d'un point (x, y y -3), sont li£es aux coordonnies rectangulaires homog&nes S, r,, JT, au moyen d'£quations telles que

3 = cf$ + b'r k +c"{,

dont le determinant n'est pas nul ; on peut done aussi exprimer £, y\, £ en fonctions linlaires et homog&nes de x, y y z. Les formules relatives au changement de variable pcrmettent de calculer les d6riv6es d'ordre/? — 1 de/ relatives k x, y y z en fonction des dSrivees de /relatives k £, r,, £, et cela sous forme homog^ne et lin£aire, et vice versa. Done, si les d£riv£es d'ordre/? — 1 relatives k x, y y z sont nulles, celles qui sont relatives k £, r,, £ le sont aussi, et vice versa. L'expression symbolique

(X/,-hY/ t H-Z/i)<p>

est un covariant; par une substitution, telle que (1), elle se

fiTUDB DBS POINTS SINGULIBRS. 1 67

trouve multiplied par le determinant de la substitution eleve" a une puissance convenable ; on peut en conclure que

est, en coordonn£es trilin£aires, liquation de l'ensemble des tangentesmen£es&lacourbe/= o au point (#,jk? s)singulier d'ordre p.