VIII. — Remarqnes

Soit (ft £ -f-/a>l) (/H ' 1) le premier 6manant de/qui ne s'annule pas ; il est facile de voir que

est liquation des tangentes au noeud et de trouver Fordre de leur contact avec la courbe. En effet, l'equation de la courbe est

e dlsignant des termes d'ordre supe>ieur a />+ i. Si Ton prend des coordonn^es polaires et si Ton pose

£ = rcos8, 7j = rsin8,

liquation de la courbe devient, apres la suppression du fac-

teor rP+\

(fi cos 8 -t-/ t sinOyp+u + rw=o,

co dlsignant une quantity finie pour r = o. On voit que la droite qui fait Tangle quelconque avec l'axe des x coupe la courbe en/? -f- i points confondus fixes et en d'autres points variables; quand tend vers une valeur qui annule

(/icos0-+-/ f sin6)<P+i>,

une autre valeur de r au moins tend vers z£ro : le rayon r correspondant devient done tangent a la courbe; l'ordre de son contact d£pendra~du nombredes termes qui s'annuleront pour (fi cos8 -h/2 sin8) ( ^ +l) = o, c'est-&-dire du nombre des points d'intersection variables de la s£cante qui devient tangen te.

1 68 CHAPITRB III.

Pour savoir de quel cdte* la courbe est placee dans le voisinage du nceud par rapport a ses tangentes, on peut suivre le proc«kl£ que voici, plus simple que celui que nous venons d'exposer, mais qui a sur lui l'inconv^nient de n'3tre pas toujours applicable. Supposons toujours que le premier emanantde/, qui ne s'annule pas identiquement, soit

(/iE-H/t^)^ +l) ;

soit Tun de ses facteurs lin6aires reels; mettant ce facteuren evidence dans tous les 6manants, on resoudra liquation de la courbe par rapport a ce facteur, et Ton aura

On partagera le plan en deux regions R 1 et R 2 : dans Tune, T sera positif ; dans l'autre, il sera ncgatif. Si Q a toujours le m£me signe, il n'y aura de points de la courbe que dans l'une des regions R R 2 . Si Q peut changer de signe, il y aura des points de la courbe dans les deux regions.

II ne s'agit, bien entendu, que des points infiniment voisins du point (x,y).