IX. — Theorie des asymptotes
On sait que Ton appelle asymptote d'une branche infinie d'une courbe une autre courbe dont celle-ci s'approche ind£finiment, de maniere que la difference des ordonnees de ces courbes ait pour limitc ze>o ou, plus exactement, de maniere que la distance d'un point de Tune de ces courbes a l'autre tende vers zero. Nous ne nous occuperons ici que de la recherche des asymptotes rectilignes.
On sait que les coefficients angulaires c des asymptotes sont
donnas par la formule c = lim — > et que leurs ordonnees a
l'origine / sont donndes par la formule /== lim(^ — cx)\ les asymptotes paralleles a l'axe des^ ont d'ailleurs pour abscisses les valeurs finies de x qui rendent^ infini.
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Occupons-nous d'abord de la recherche des asymptotes parall&les a l'axe des y d'une courbe alg^brique; a cet effet, ordonnons liquation de la courbe par rapport aux puissances decroissantes dey; nous aurons
X , X M ... d^signant des polyn6mes entiers en j; en divisant par y m , on a
(1) Xo-^-^X,-^ J-X,--...-h- I ,-y m = o;
si Ton suppose y = oo , cette equation se reduit a X = o, et les valeurs finies de x qui rendent y infini sont racines de liquation X =o. Ainsi, au point de vue algebrique, la question estr£solue; au point de vue g£om£trique, il convient d'examiner de quelle fagon la courbe est plac^e par rapport a son asymptote.
i° Supposons que, pour la valeur a qui annule X , on ait X^o; alors on peut mettre liquation (2) sous la forme
e d6signant une quantity que Ton pourra supposer moindre que X| en valeur absolue. On en tire
alors la courbe propos£e aura ses branches disposes, par rapport a l'asymptote, comme celles de la courbe
On voitque, si a est racine simple de X = o, la courbe aura deux branches situ£es de part et d'autre de l'asymptote; si, au contraire, a est racine double ou d'ordre de multiplicity pair, deux branches seront asymptotes d'un m£me c6t£.
2° Supposons quepour#= aon aitnon seulementX = o, mais encore X t = o, on peut faire
liquation de la courbe se transforme alors en une autre enti&reen $ et rj . On peut consid6rer $ et 7j comme des coordonn£es courantes : la nouvelle Equation pourra alors £tre consid£r£e comme celle d'une courbe d qui passera par l'origine ; on discutera la forme de cette courbe en appliquant les principes d6velopp6s aux paragraphes pr£c£dents, elle pourra presenter une singularity, et de sa forme on d£duira celle de la courbe propos^e c en remarquant que l'ordonn^e de cette derni&re est l'inverse de l'ordonn^e de la premiere correspondante a la m&neabscisse. Cette m6thode s 'applique, bien entendu, 6galement au cas ou X 4 ne serait pas nul en mgme temps que X .
Supposons, par exemple, que la courbe d pr£sente une branche unique traversant l'axe des x, la courbe propos£e c pr6sentera deux branches infinies asymptotes k l'axe desTj ou & la droite x = a, situees l'une au-dessus, l'autre au-dessous de l'axe des x. Si la courbe d pr£sente une branche unique tangente a l'axe des x, la courbe c pr^sentera deux branches infinies asymptotes k la droite x = a, situees du m£me c6t6 de l'axe des x que la branche de la courbe c'.
Si la courbe d prtfsente un noeud simple, chaque branche du noeud donnera lieu k deux branches asymptotes a la droite x = a appartenant k la courbe c. Un rebroussement donnera lieu ordinairement k deux branches infinies de c, asymptotes d'un mgme c6t£ de la droite x = a, etc.
D'ailleurs nous allons exposer une m£thode g£n£rale pour la recherche des asymptotes des courbes alg£briques ; cette m£thode semble ne pas s'appliquer a la recherche des asymptotes paralleles k l'axe des^, mais avec un peu d'attention on verra sans peine qu'elle est tout k fait g6n6rale.
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