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et Ton cherchera la limite de 8 ; c'est cette limite qui fournira 1'ordonn^e a l'origine correspondant aux asymptotes dont le coefficient angulaire est c: la formule (i) divis^e par x m don-

nera alors, en remplagant - par c -\ — >

c'est-a-dire

or, cpw(c) £tant nul, on peut £crire

J ?'hi(c)y-*-?iii-i(c) (3) j r Si § n

Equation qui, pour x = 00 , donne, en passant aux li mites et en appelant I la limite de 0,

d'ou

Si done <p' m (c) n'est pas nul, on aura une asymptote correspondant au coefficient c; mais, si <?' m (c) est nul, liquation <?m(c) aura une racine double, et / sera infini, a moins que Ton n'ait cp m-l (c) = o. Dans ce cas, la formule (3) donnera, en multipliant par x,

et, pour x = 00 , / sera d£termin6 par liquation

on aura alors deux asymptotes correspondant a la valeur c du coefficient angulaire. On voit comment on continuerait cette recherche si y'^, ©^,, et <p m a 6taient mils.

Revenons maintenant sur cette discussion. Supposons les axes de coordonn^es tellement choisis qu'il n'y ait pas d'asymptotes parall&les aux axes : alors l'equation <f m (c) determine m coefficients angulaires, £gaux ou inegaux ; a chaque valeur simple de c correspond une et une seule valeur de /, finie ou infinie; done, en g£n£ral,

Une courbe d'ordre mam asymptotes.

Ce th^oreme ne tombe pas en deTaut quand c est racine double, triple, etc., de <p OT (c)=:o; nous avons vu en effet qu'a une pareille valeur de c correspondaient deux, trois, etc. asymptotes, reelles ou imaginaires, situ^es a distance finie ou infinie, confondues ou non.

Au point de vue purement analytique, la question est r£solue; au point de vue ge'om&rique, il reste a indiquer la disposition des branches infinies de la courbe par rapport a ses asymptotes.

L'equation (3) n'est autre chose que liquation m6me de la courbe, pourvu que Ton y considere 8 com me e*gal by — ex ; si Ton y fait

e reprdsentera la difference entre l'ordonn^e de la courbe et l'ordonn£e de l'asymptote. En effet, cette formule donne

y — co7 = Y — c#4-e ou y — Y = e,

Y d£signant Tordonn^e de l'asymptote, y celle de la courbe pour l'abscisse x. La substitution 8 = l-\- e dans (3) transforme cette equation comme il suit, en observant que

est nul :

E?',„(c)-h ^ lo m (c) ( ^ a E)> -+- ?',„-! (C) -^ -h cpm-l(c)J -+-. . . = O.

Une discussion, semblable a celle qui a £te* faite apropos des points singuliers, montrera si, pour de grandes valeurs de x, t est positif ou negatif, e'est-a-dire si la courbe est au-dessus ou au-dessous de son asymptote.

Supposons que - tende vers o; liquation pr£c£dente, en g£n£ral, s'e'erira

(4) e^t'c)-!- J Wm(c) j^j -+- ?',„-! (C) j H- <?/n-i(c)J -+- <i> = O,

<o d£signant un ensemble de termes d'ordre supe>ieur aux

pr6c£dents; appelant A le coefficient de -> on aura scnsible-

ment

On voit que e change de signe avec -; d'ailleurs il est r£el,

car, si Ton consid£re le produit ex = a comme variable, la d£riv£e du premier membre de (4), qui peut s'ecrire

acpj.-h A -+- a) =±= o, est <p' c + — et conserve son signe pour de grandes valeurs

de x. Pour a = r-i— < =t /i, ce premier membre change

de signe; done liquation en a a une et une seule racine

entre r— - ± h. Puisque e change de signe avec -> la

courbe est en g£n£ral situ^e de part et d'autre de son asymptote, et a une asymptote r^elle correspond une branche de courbe r£elle; mais il n'en est pas toujours ainsi.

Si, par exemple, dans (4), le coefficient de — £tait nul,

e'est-i-dire si Ton avail <p * m (c) = o, y m { (c) = o, v m ~2 (c) = o,

e serait de m6me ordre que — et ne changerait plus de signe

avec x\ deux branches de courbe seraient alors situees d'un m&me c6t6 de l'asymptote. Mais il n'esl pas n^cessaire de pousser cette discussion plus loin, k cause de l'analogie qu'elle pr£sente avec celle des points singuliers.