XI. — Equation des asymptotes

Conservons les notations du paragraphe precedent et supposons c racine d'ordre de multiplicity * de <p m (i,c)=o; supposons d'une mani&re g£n£rale l'ordonmie / donn£e par liquation

ETUDE DE9 POINTS SINGCLIERS. \ r ]Z>

Gomme liquation d'une asymptote est dela forme

on aura liquation de l'ensemble des asymptotes en ^li rain ant / entre ces deux formules, ce qui donnera

Gette Equation peut se mettre sous une forme remarquable. Posons c= — g; elle pourra s'£crire

on bien

mais, la fonction <? m £tant homog&ne, on a symboliquement

L'expression

s'annule done pour x = a et^ = j3, et m£me s'annule * fois pour x = z ety = £, puisque ¥« f (c) == °> on P eut done P°" ser, en appelant G un facteur fini pour x = a, y = j3,

si l'on fait x = o, on a

dp' "

1^6 GHAPITRE HI.

d'ou l'on tire, en multipliant en croix, La formule (2) devient alors

mais on a, en appelant /( x,y, z) le premier membre de liquation de la courbe,

<M«,P)=/(«iP>?) P°u r Y = °* ?OT l( a,?)=^, ?«-.<«. P> =7^' ■■• pour Y =o; (3) s'^crit alors

i\\ X d% +y d$) + 1 (»— 1)! d-{\ dx ^d?y ou, multipliant par {'!,

/ df df\< id/ df df\'->

d? \ dx

+7.Vq) -»-.-- = o.

Cette derniere Equation peut (Svidemment se mettre sous la forme svmbolique

toujours en supposant y = o et z = 1 . Cette forme est bien remarquable. En effet, elle convient a tous les cas, mSme au cas ou I'on aurait affaire a des asymptotes paralleles a l'axe des y\ en second lieu, elle met en Evidence ce fait que, si

fiTUDE DBS POINTS SINGULIERS. I77

sont nuls, il y a i asymptotes de mime coefficient angulaire c= °, que les dirivies ^ft/dy sont toutes nulles, et que

les Equations de ces asymptotes sont de la mime forme que celles des * tangentes en un point singulier qui seraitd'ordre i et qui aurait pour coordonnies homogenes a, |3 et y = o ; done on peut dire que :

Toute asymptote ayant pour coefficient angulaire -

est une tangente a Vinfini au point de coordonnies «,P,T = o(«).

Si i asymptotes sont paralldles & la direction -> elles

sont tangentes au mime point singulier d'ordre i a Vinfini, a, (3, o.

Si, dans liquation de la courbe

on fait

(6) * = * -+-3?> y=y -+-$p, z = ZQ-T-i? y Y=°» elle devient

7 ) p m /( a > P. Y)- + -P ,;| - ip i+P m - ,p «- 4 ---- = °>

P/ design ant (x j- -hy -jg -f- -o ^ ) symboliquement. Cette

Equation a pour racines les p des points d'intersection de la droite (6) et de la courbe (5). Si Ton suppose /(a, (3, y) = o [ou fm(c) = °]> l a direction de la droite (6) est celle d'une asymptote; la formule(7) montre qu'elle rencontre la courbe en un point a l'infini. Ainsi :

Les par alleles aux asymptotes rencontrent la courbe a Vinfini (et en m — i points seulement a distance finie).

Si non seulement on pose /(a, (3, y) = o, mais encore si

(*) II est bien enteodu que cette proposition ne s'applique pas a des courbes traoscendantes quelconques.

I78 CHAPITRB III.

Fon choisit x Q , y Q , z Q de telle sorte que P« = o, c'est-a-dire, en definitive, si la droite (6) est une asymptote, elle rencontre la courbe en deux points a Pinfini. Ainsi une asymptote coupe la courbe en deux points situis a Vinfini.

Si toutes les deVivEes de/sont nulles jusqu'a l'ordre i inclusivement, onaP/=o; le point {x^y^ z ) est alors surTune des i asymptotes paralleles a la direction a, p, y; la droite (6) est une de ces asymptotes. Ainsi :

Quand i asymptotes sont paralleles, elles rencontrent la courbe en i points sit ties a Vinjini.