XII. — £tude des points a l'inflni

Le nouveau point de vue auquel on peut consid£rer les asymptotes des courbes algEbriques, et qui permet de les regarder comme des tangentes a I'infini, est fecond ; il permet de trouver ces droites en coordonne'es trilineaires ; il permet aussi de classer les asymptotes et leurs points de contact comme les points singuliers.

Pour trouver les asymptotes d'une courbe

on pourra faire z = o 9 resoudre liquation f(x, y, o) = o et chercher les tangentes aux points x, y, racines de cette Equation. La courbe aura des points singuliers a I'infini si Ton a,

pour 5 = 0,

df df df

Ox ' dy ' dz '

ces points pourront e"tre des rebroussements ou des points doubles, triples, etc.

Ainsi, deux asymptotes confondues, c'est-a-dire pour iesquelles l'ordonnee a Torigine sera la m£me, devront £tre considerees comme des tangentes en un point de rebroussement, etc.

Dans ce qui va suivre, a moins que nous ne prlvenions

fiTUDB DBS POINTS SINGULIERS. I79

express^ment du conlraire, quand il sera question des points singuliers d'une courbe, il faudra compter parmi ces points ceux qui sont a rinfini.

Remarque. — II peut arriver que la r^sultante de deux Equations de degre"s m el n soil d'un degre" infe'rieur a mn } au moins en apparence. Cela a lieu quand on ne lient pas compte des racines in finies de la r£sultante.

Lorsqu'on veut avoir le nombre de solutions finies des deux Equations, il faut retrancher du nombre mn le nombre des solutions infinies; or la theorie des asymptotes fait precis£ment connaitre le nombre et la nature des points a Tinfini; il est done facile de voir en combien de points les deux courbes qui representent les deux equations se rencontrent a rinfini; en deTalquant ce nombre de mn, on aura le nombre des solutions finies des deux Equations proposes et par suite le degre de la r£sultante.

Exemple :

x* ■+■ ix*y -hy*x -+- 3y 2 -4-^ = 0,

x l -+- %xy -+-y* -+- x — y = o.

Les courbes representees par ces Equations ont un contact simple a Pinfini sur la droite jp-ha; =o, la tangente est la droite de rinfini; done elles ont deux points communs a Tinfini et, par suite, 6 — 2 = 4 points communs a distance finie.