VI. — Sur nne propriete des tangentes

Si Von considhre une droite mobile coupant une courbe en deux points A, B, qui viennent se conjondre en un seul M, situe* sur la courbe, pour une position partial- Here de la droite, cette droite sera a la limite tangente a la courbe en M .

GfiOMfiTRIE FLANK. 9

En effet, soient x, y les coordonnees du point M, soient jc f ,y el x* \y celles des points A et B; le coefficient angulaire de la s£cante AB est

JT — J'

or, s\y =f(x) est liquation de la courbe, ce rapport devient

ar* — of * x'--x° -/^ A ^

X designant une valeur de x comprise entre x' et x". Mais, quand x* et x* tendent vers x, f'(X) tend vers/'(.r), qui est le coefficient angulaire de la tangente en x.

Toutefois, pour que ce raisonnement ne soitpas en defaut, la fonction y=f(x) doit pouvoir se d^velopper par la formule de Taylor ( * ), pour la valeur x r de sa variable, et sa derivee doit 6tre continue. Le point M ne doit pas etre ce que Ton appelle un point singulier.

VII. — Condition poor qu'une droite soit tangente a une courbe

donnee.

Soit

liquation d'une courbe,

(a) ax -* -by->rc = o

celle d'une droite. Pour exprimer qu'elles sont tangentes, on peut identifier liquation (2) avec celle d'une tangente

X, Y, Z designant les coordonnees courantes. Alors liquation (a) rendue homog&ne s'6crira

aX -»- bY -- cZ — o,

f ') Au moins limine aux termes du premier degr£, comme la demonstration le suppose.

10 GHAPITRE 1.

x y y, z designant les cordonnies du point de contact. L'identification donne

ces Equations font connaitre le point (a:, y, z) de contact; mais, pour que le contact ait lieu, il faut que les valeurs de x,y, z tiroes de la satisfassent a (i) et (2). II est facile de voir que, si elles satisfont a (1), elles satisfont a (2), car (3) donne

A A = A = * A -+-yft -*- *A = m f

a b c ax -\- by -\- cz ax •+- by ■+- cz*

m designant le degre de/, et, comme/= o, on a

ax -+- by ■+- cz = o.

Si de (3) on tire x, y, z pour les porter dans (1) ou (2), en d'autres termes, si Ton ^limine x y y, z entre(2) et (3), on aura la condition cherch^e. Pour faire cette elimination, on peut remplacer le syst^me (3) par le suivant :

(4) /i + «p = o, /j-h*p = o, / 8 — cp = o;

il faut alors £liminer x,y> z 9 p entre (2) et (4), ce qui revient a ^liminer x,y, z, p entre les Equations obtenues en 6galant a z£ro les d£riv£es de

f(x,y, z) -f- p(ax -±-by ■+- cz) = o, prises par rapport kx,y, z et p.

Exemple. — Pour trouver la condition de contact de la

droite

ax -^ by -+- c = o

avec la conique

Ax* ■+■ h!y* -4- k'z* -+- 2 Byz -h %B'xz -+- zB'xy = o,

on ajoutera au premier membre p(ax -+• by -f- cs), on £galera a zero les derives de

Ax*-\- k'y* ■+- A*z* -\- %Byz -\- %B' xz -+- %B' xy ->r p(ax -±- by -*r c z)

GfiOMfiTRIE PLANE. 11

el on 6liminera x, y, z, p, ce qui donne la condition cherch^e

Autrement : la condition de contact peut encore s'obtenir en cherchant le faisceau des droites issues de Forigine et passant par les intersections de ( i) et(2); si Ton exprime que ce faisceau contient une droite double, on a la condition cherchde.

En rendant les Equations (i) et (2) homog^nes, on a

(5) /(*,>% *) = o, ax-hby-±-cz = o,

et, en £liminant *, on a une consequence homog^ne de ( 1 ) et (a); en effet, la rlsultante est homog&ne et elle a lieu quand les Equations (5) ont lieu, quel que soit 5, et en parti culier quand z = 1 ; ainsi

,1 ax^-by\

est l'equation d'un faisceau de droites, et ces droites passent par I'origine et par les intersections de (1) et (2). Ecrivons

que cette Equation en x et j', 011 plut6t en -> a une racine

double et nous aurons la condition cherchee.

Autrement encore : on peut exprimer qu'en £liminant x entre ( 1 ) et (2) la r£sultante eny a une racine double. Quand on donne l'angle a que la droite fait avec l'axe des x, on peut

poser

x — ir H- p cos«, y = ^ -f- p sin a,

eliminer x ety entre ces formules et ( 1 ), ce qui donne

f(x -hp cos a, y Q -+- p sina) = o,

et exprimer que cette Equation a une racine double en p. On obtient alors une relation entre x ety , qui repr£senle le lieu

des points d'ou Ton peut mener des tangenies a la courbe sous une inclinaison donnde. C'est liquation de toutes les tangentes paralleles a la direction a.

II est bon de se rendre compte du degre* de Fequation en a, b> c, qui exprime la condition de contact de la droitc ax -f- by -f- c = o et de la courbe /= o.

Nous supposerons la courbe de degr£ m : alors les Equations

a x -f- by - c — o peuvent se ramener a

i / by -* c \ i / by + c \ i / frj -*- c \ 5 /! V a ' y )-b f *\ —' y )~c ft \ ~*>)

ou, en supposant, ce qui est permis, a = i ,

bf\(by-+-c,y)=f t (by-+- c, 7 ), c/i {by+c i y)=fi{ by -t- c, 7).

Ges Equations sont de degr6 m — ien/: leur r6suhante sera du degre" m — 1 par rapport a leurs coefficients qui sont de degres m en a el b; cette r£sultante sera done de degre m(m — 1). Ainsi la condition pour que la droile

ax -4- bx -4- c = o

louche une courbe de degri m est de degri m(m — 1) (' ).

VIII. — Mener une tangente a une courbe par un point ezterieur.

Pour mener une tangente a une courbe

(•) Ce dcgr£ peut s'abaisser, comme on lc verra par la suite, mais nous nous maintenons ici dans les gen6ralites. II est presque inutile de fa ire observer que les deux dernicres melhodes que nous venons de donner ne fournissent pas toujours la condition suf/isante du contact; deux racines de la rcsultante en y, par excmplc, peuvent accidentellcmcnt devenir £gales sans qu'il y ait contact.

GE0METR1E PLANE. l3

par un point exte>ieur (# > yo)i on P eut suivre plusicurs procode's :

i° On peut £crire Inequation d'une tangente

et exprimer qu'elle passe par le point (x ,y ), ce qui donne

<, a ) x /i -h jo/i -*- ^o/s = o,

ou z = i . Cette equation fait connaitre x,y, z en la joignant a liquation proposed (i) ; les coordonn£es x, y y z du point de contact etant connues, on en conclut l'equalion de la tangente. Les Equations (i), (a) auront en general plusieurs solutions ; si (i), par exemple, est algcbrlque et de degre" #w, liquation (2) seradedegrO m — 1 en ^c, /, etles formules (i)et(a) fourniront m( m — 1) valeurs de x et de j'; done, en general :

Par un point donni, on pourra mener m (m — 1) tangentes a une courbe de degre m.

L'equation (2) repre'sente une courbe que nous rencontrerons plus loin sous le nom de polaire du point (x ,yo)- Dans les coniques, elle se re"duit a une droite qui est la corde des contacts relative aux tangentes issues de (x 0l y ).

Si, entre les equations (1), (2) et

on ^limine x, y, z 9 on aura liquation de Pensemble des tangentes issues de # > JKo-

2 On peut consid£rer la droite

x- x -.-ap, y —-y Q -*-bp,

elimincr x ely, ce qui donne

f(x Q 4- ap, y -+-bp) = o,

et exprimer que la resultante a une racine double en p ; ce qui revient a Oliminer p entre cette Equation et

d{x +ap) d(y -i-bp)

l4 CHAPITRE 1.

Soit

la result ante ; elle fait connaitre le parametre variable conlenu dans a et b (si, par exemple, a = cosa, 6 = sina, le parametre sera Tangle a que la droite fait avec l'axe des x). En eliminant le parametre variable entre cette Equation et

on aura liquation cherch^e de toutes les tangentes.

On mene une tangente a une courbe parallel erne nt a une droite donn£e en ex prim ant que la droite

ax -h by -+- c = o

touche la courbe : a et b sont census donnas, et, en £liminant p, x, t y, z entre les d6riv£es £gal£es a ze>o de (p. 10)

f-hp(ax-t-by-\-cz),

on a une Equation qui determine c; l^limination de c entre cette Equation et ax -+- by -+- cz = o fera connaitre l'ensemble des tangentes paralleles a la direction a, b.

On peut remarquer que liquation en c est de degre* m(m — i) et que, par suite, on peut mener m(m — i) tangentes de direction donn£e a une courbe d'ordre m. D'ailleurs, soit

l'equation d'une tangente; si Ton pose

elle restera parallele a la direction a, b. Cette Equation jointe a (i) fait connaitre les points de contact, qui sont, comme Ton voit, an nombre de m{m — i).

GfiOMfiTRIE PLANE. l5