XIV. — Remarque an sujet des conrbes algebriques

Une courbe alg£brique ne saurait avoir de points d'arrfitni de points anguleux, et, par suite, une asymptote esttoujours asymptote a deux branches r^elles. Ge th£oreme r£sulte de Tanalyse qui pr£c&de ; mais on peut le d&nontrer com me il suit ;

Prenons le point singulier pour origine; liquation de la courbe sera

coupons cette courbe par le cercle de rayon e infiniment petit

le nombre des solutions des Equations (1), (2) est pair, le

fiTCDB DBS POINTS SINGULIBRS. l8l

nombre des solutions imaginaires est pair; done le nombre des solutions r6elles est pair aussi; done la courbe (i) coupe toujours un cercle d£crit de Fun de ses points comme centre en un nombre pair de points, ce qui n'aurait pas lieu si Ton pouvait prendre pour centre du cercle un point d'arrgt.

Une courbe alg£brique ne peut avoir de points anguleux,

parce que la courbe ayant -r- pour ordonn^e, qui est alg£-

brique comme la proposEe, aurait un et m£mc deux points d'arrfit.

Une droite asymptote & une branche de courbe alg£brique est toujours asymptote a une seconde branche ; sans quoi, si la courbe f(x,y) = o n'avait qu'une branche asymptote de la

droite y = o, par exemple, la courbe fly, - ) = o aurait un

point d'arr£t a 1'origine.

Developp&e de Vhyperbole. — Cette courbe a pour Equations (p. i 10)

(ax)* — (by)* = c 3

ou, en faisant disparattre les irrationnelles,

on trouve que les asymptotes sont rejet^es k l'infini. Pour determiner les points singuliers, on rend liquation homogene ; on a alors

(a % x* — b*y* — c k z % )* — yj a*b x c l >x t y % z' i = o

ou

en posant

l82 CHAPITRB III.

Les d£riv£es relatives a x, y, z sont, a un facteur constant

pr£s,

(pt 9 6»c^«z*)3-,

En £galant ces d£rivees a o, on a

/ (P±3bc*yz)x = o, (i) < (P±3)^lac*xz)y = o,

( ( P =h 3 /^T abxy)z = o.

Supposons j? = o : les deux derni&res Equations rentrent l'une dans l'autre; on a done un point singulier sur l'axe des^, au

pointy = dz(-r) ^ — i , et de m6me un point singulier sur

Paxe des x a l'abscisse x = ± — • En ces points, la tangente

a pour equation x 2 = o.y 2 = o; ce sont done des points de rebroussement ordinaires.

Pour 5 = 0, les deux premieres Equations concordent et donnent a 2 x 2 — b 2 y 2 = o, ce qui fournit deux points singuliers r£els. Les tangentes en ces points sont donncSes par la formule z 2 = o et par suite ces points sont des points de rebroussement, la tangente est la droite de l'infini.

Supposons maintenantje^o, y '^o, z^o) les equations (1) donnent

P = ±: 3 bc*yz = ±z 3 ac*xz \J — 1 = ± 3 abxy / — 1 ou

3 abc*xyz " ax ~ by y/^T ~" c*z /— ~i Si Ton prend les quatre points,

ax — dzby / — 1 = ± c*z \j — 1, on voit que ces points satisfont a (2). En cherchant les tan-

fiTUDE DBS POINTS SINGULIERS. l83

entes en ces points, on reconnait que ce sont des points doubles ordinaires.

La scarabee est engendre'e comme il suit :

Fig. 3a.

Supposons qu'une droite de longueur constante s'appuie sur deux droites rectangulaires ; elle enveloppe une 6picycloi'de (p. 139) dont nous avons dej& trouve* liquation. Si Ton forme la podaire de cette courbe par rapport k un p6le P pris sur la bissec trice de Tangle yOx> cette podaire sera la scarabee.

Ainsi la scarabee est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissees d'un point fixe pris sur la bissectrice d'un angle droit, sur une droite de longueur constante dont les extr6mites se meuvent sur les c6l6s de Tangle droit en question. Cette proprie'te' de la scarable d'etre une podaire permet imm£diatement d'en construire g£oni£triquement la tangente et le ravon de courbure.

Cherchons son Equation : soient OA = a, OB = (J, OP = a et AB=/; les coordonnees x, y du point M satisfont a liquation

(1) ap-+-pa- = ap de la droite AB, dans laquelle

(2) a t h pi = /j ;

elles satisfont aussi & liquation de la droite MP

l84 CHAPITRB III.

Pour lliminer a et (3, on tire - et ^ de (1) el (3), et on les porte dans (2), que Ton £crit

ce qui donne

M~SM---$)]"[(---2) , 4-- , m

ll est indique de transporter Torigine au point P; on a alors

(4) [y* -h x* -+- a(x +y) fi]*(x* +y*) = l*x*y*.

En coordonn6es polaires, on a une Equation fort simple

[r*-f- ra(sin6n-cos8) ^a] f r* = /*r* sin 1 6 cos* 6,

d'ou Ton tire

r = a /a (sin 8 -+-cos8)± ZsinOcosO;

on discutera plus facilement la courbe en changeant 9 en - -f- 0, ce qui donne

r = 2 a cosO dz - cosaO.

Nous laissons au lecteur le soin de faire cette discussion el de verifier les r£sultats de la discussion que nous allons faire de liquation (4). Cette equation d£velopp£e est

(a?* -4- i J' , ) , + aa /a(:r* -*-y*)*(x-+-y)

l'origine est un point quadruple, les points x = o, y = — — — et # = — , y = o sont des points doubles. Les ombilics

fiTUDE DES POINTS SINGULIERS.

du plan sont aussi des points doubles; la forme de la courbe est la suivante :

Fig. 33.

Courbe du diable. — Son Equation est de la forme

y K — x k -+- ay* -h bx* = o ; elle se d6duit de l'equation de l'hyperbole £quilat£re

y* — x* •+- ay -h b x = o

en changeantj' eny 2 el x en x 2 . Nous ferons

a = — »4» b = a5, et nous la discuterons sous la forme

1 86 CHAPITRK III.

nous lui trouverons un point double a I'origine; elle passe par les ombilics du plan.

XVI. — Nombre des conditions determinant one conrbe algebrique .

Une equation d'ordre menx ely renferme un terme de degr£ z£ro, deux termes du premier degr£, . . . , m -+- i termes de degr£ m : elle renferme done en tout i-t-2-t-...-j-(m-hi)ou

— termes, et, parsuite, elle contient ^—

coefficients. Or deux Equations qui ont leurs coefficients proportionnels repr^sentent la m6me courbe ; il en resulte qu'une

courbe d'ordre m ne depend que des i rapports des coefficients de son Equation a Tun d'eux; pour determiner une courbe d'ordre m, il faudra done en general se

donner — — i = — conditions.

Theoreme. — Par — points donnes, on peut tou-

jours faire passer au moins une courbe d'ordre m.

Soit, en effet,

liquation g^n^rale d'ordre m ; si l'on y remplace successivementaret^par^^^parxa^a,...,^,^, ou;x— m (™ -*-') ,

on aura [x Equations donnant en g£n£ral des valeurs determines pour les rapports des coefficients ay ; les rapports de ces coefficients cesseraient d'etre bien determines, si les mineurs du determinant

ym xym-l m # # x m ym-l . . . i

\fftt ~ v"*~l fftlt '%fttl—.\ f

J\ *IJ \ ••• *i J\ "• *

J\k ^fJU/ll ••• ^Ji J\L

relatifs aux £l£ments de la premiere ligne, £taient tons duIs. Mais alors les coefficients a/y auraient des rapports hide* terminus et le systeme admettrait une infinite de solutions. Ains! le the'oreme se trouve etabli.

Nous montrerons toutefois que, lorsque la solution est

unique, la courbe passant par — — t points donnls peut

n'fitre pas irr^ductible} nous montrerons ensuite dans quels cas la solution peut £tre multiple.

Theoreme I. — Si par — — -points donnes on peut

/aire passer une courbe C unique d'ordre m, et si par mi ces points il y en a plus de mp sur une courbe C d'ordre p, la courbe C se decompose en une courbe d'ordre p et en une autre d'ordre m — p.

En effet, la courbe C coupe C en plus de mp points j ces deux courbes doivent avoir des Equations r£ductibles, leurs premiers membres ont des facteurs communs ; si la courbe C est une courbe irr6ductible, le premier membre de son equation divisera le premier membre de liquation de C, et par suite C se d£composera comme il a 6l6 dit.

Theorems II. — Si } parmi les — points qui deter-

minent une courbe C d'ordre m, il y en a plus de

mp

sur une courbe d'ordre /?, elle est decomposable. En effet, supposons qu'il y ait

mp — ^- / -^- ' ■+■ 1

points sur une courbe A d'ordre p ; par les

points res tan is, on pourra faire passer une courbe d'ordre m — p. Cetle courbe jointe a A formera une courbe d'ordre m, passant par les points donn£s; si done la courbe C est unique, elle est decomposable.

En g£n£ral, deux courbes d'ordre m se coupent en m*

points et Ton a m 2 > — -; en efTet, celte formule revient

am 2 — 3m^ o ou a m>3 et, si l'on suppose m>3, il est

facile de prouver que — points ne d^terminent pas tou-

jours une courbe d'ordre m. On a en effet le theor£me suivant :

Theoreme III. — Toutes les courbes d'ordre m, passant par — * - — i points donnes, passent par

autres points fixes.

En effet, soient <p = o, ty = o les equations de deux courbes d'ordre m passant par les points donnas; <p -+- X^ = o representera une courbe passant par les m£mes points et passant en outre par les m 2 + i autres intersections

de <p = o, ty = o.

Or <p -f- X^ = o est liquation g£n£rale des courbes passant par les points donnas, parce que rind£lermin£e X permet de faire passer cette courbe par un point determine; elle pas-

sera alors par — points donnes ( l ).

On comprend done que, si, parmi les — points donnas, il s'en trouvait un appartenant a toutes les courbes passant par -' — i d'entre eux, les points donnas fourni-

raient un r£sultat ind£termin£.

(*) Cette proposition n'est pas vraie d'une facon absolue (voir Societe mathematiqut de France, t. V, p. 160 : Sur un theoreme d'Algebre, par M. Halphen.

Theoreme IV. — Si Von connatt — — i des points

d y intersection de deux courbes d'ordre m, on trouvera par

cela mime les m 2 4- 1 = ^ m ~ tt autres

points d f intersection.

En effet, il suffira de former liquation de deux courbes d'ordre m, cp = o, ^ = o passant par les points donnas;. les intersections de ces deux courbes fourniront les points cherch6s.

Si Ton applique les principes precedents aux coordonndes

tangentielles, on voit qu'il faudra — tangentes pour

determiner une courbe de m i<hnc classe, que liquation generate

des courbes de m iime classe ayant — i tangentes communes est de la forme <p + X^, ....

Sans qu'il soit n£cessaire d'insister beaucoup sur ce point, il est Evident que les raisonnements que nous venons de faire s'appliquent aux points r£els ou imaginaires, situ£s a distance finie ou infinie; mais il y a quelques modifications a introd ui re quand on fait intervenir les points singuliers et nous allons nous y arr£ter quelques instants.