XVIII. — Intersections de deux conrbes algebriques. Etude

d'nne intersection en particulier.

Deux courbes d'ordre m et n se coupent en general en tnn points; mais le nombre de ces points peut £tre moindre et, pour que l'on puisse dire que les deux courbes se coupent toujours en mn points, il faut compter certains points comnouns plusieurs fois. Ainsi deux courbes presentant un contact se coupent re'ellement en deux points confondus en ce point de contact.

iga CHAPITRE III.

Considerons, en general, deux courbes ayant un point singulier commun.

Prenons pour origine des coordonn^es le point singulier en question; les Equations des deux courbes pourront se mettre sous les formes

<p/, f/ + i , . . . designant des polyndmes homog&nes de degr^s /, * -f- 1, . . ., el <jjy, <|v+i, • . • designant des polyndmes homogenes de degr£sy, J + 1, .... La courbe (1) aura alors a 1' origine un point multiple d'ordre i et la courbe (2) un point multiple d'ordre y.

Si nous posons - = £, nous pourrons 6crire (1) ainsi

a?'<p/(i, *)-t-« /+ ' i f/4-i(i, *)-♦-. .. = ou

pour a: = o, cette Equation se reduit a y/(i , *) = o et, par suite, i racines de cette Equation se reduisent pour x = o aux * racines a a 2 , . . . , a/ de fi(i, *) = o. Ces i racines pourront £tre representees par a K + e 4 , # 2 + e 2 , . . . , e<, e 2 , ... designant des quantity infiniment petites pour x voisin de o. II en r^sulte que, dans Inequation (1), i racines^ seront representees par a K x-\-t K x, ..., a£X-\- six; or si, pour abreger, on represente par W(x, y) le premier membre de (2), la resultante de (1) et (2) sera

*F(ar, a t x^- Bitf).. . V(ar, a/a?-h tfx) Q = o,

Q designant un produit de facteurs, tels que ^(a?,^), dans lesquels y^ designe une quantite finie pour x = o. On pourra done ecrire cette resultante ainsi

ETUDE DES POINTS SINGULIERS. Iq3

ou bien

TT[ar/^ y (i, a v -h e v ) -+- xi^ <Jv-m(i, av + 6v) H-...] Q = ° ou enfin

xVl |[^y(i, #v-H £ v )-+- #<J7-h(i, «v-*- e v) ■+•• . .] Q = ° ou encore

Les termes da degre" le moins £leve* dans la r£sultante conliendront done x*J en facteur; done :

Deux courbes qui, passant en un m&me point M, ont en ce point Vune un noeud d'ordre i et V autre un noeud d'ordre j doivent 6tre considerSes comme se coupant au moins en if points corifondus.

Mais il n'y aura pas, en general, contact.

Si Tune des quantites ^y'O? #v) s'annulait, les Equations ©,(i, t) = o et ^y(i , t) = o auralent la racine commune a v ; or ces equations sont les equations aux coefficients angulaires des tangentes aux nceuds des deux courbes : les courbes (1) et (2) auraient ainsi une tangente commune; pour voir ce qui arrive dans ce cas, il convient d'eValuer e v . A cet effet, remplac.ons dans (3) t par a v -f- e v ; nous aurons

ct, en de 1 veloppant par la formule de Taylor,

(5) «?/(i, Ov)-HSvf'/(i> Ov) + ...-+-* <?/-h(i, a v )-^... = o;

Oi(i , ay) £tant nul, on en conclut, aux termes du second ordre pres,

• ? /-n(l,gy)

£ v sera done, en general, proportionnel a x et de la forme

b^x-\- e'vXj e' s'annulant encore avec x\ toutefois cette con-

elusion serai t en defaut si <j>/(i, ch) £tait nul. 11 fa ud rait alors prendre un plus grand nombre de termes dans la formule (5) el determiner le degre* de e par rapport a #, par la m^thode de Minding.

Supposons done d'abord e v = b y x -f- e[x et ^y( i , Oy) = o, y,(i , a v ) = o. Non seulement les courbes ont un noeud commun, mais encore une tangente commune ; la formule (4) contieiidra alors en facteur a?* + / +l , et Ton voit que :

Si deux courbes possident en un point M des noeuds a i branches et a j branches, elles devront etre considiries comme ay ant i-hj points confondus en M, plus autant de points confondus avec ceux-ciqu elles auront de tangentes communes en M.

Si Q/(i| « v ) etait nul, la tangente correspondant a la direction # v serait une tangente double ou, si l'on veut, une tangente de rebroussement;e v serait deTordre-jenx; l'exposant de x i+ J se trouverait encore augment^ d'une unite si Ton avait »}y(i , Oy) = o et de deux unites si Ton avait ^y(i , a v ) = o. Nous ne pousserons pas maintenant la discussion plus loin.